新课标人教A版数学必修一《2.3 幂函数》教学设计
文档属性
| 名称 | 新课标人教A版数学必修一《2.3 幂函数》教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 223.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-02 15:55:59 | ||
图片预览
文档简介
《幂函数》教学设计
王聪聪
【学习内容分析】
幂函数是人教版《普通高中课程标准试验教科 ( http: / / www.21cnjy.com )书 数学（A版）》必修1第二章2.3节的内容，本节课的主要内容是幂函数的定义、5个幂函数的图象及其性质，一般幂函数的性质。本节课是学生在学习了指数函数对数函数之后，学习函数的应用之前。它是学生学习了函数的概念和性质后学习的第三个基本初等函数。幂函数是目前为止学生学习的最复杂的基本初等函数，它的图象与性质相对于前两个都更加复杂，不是简单的分类讨论可以解决的，这对于学生来说是一个难点。研究指数函数和对数函数的方法可以用于本节课的研究，因此学习幂函数是对先前所学的方法的应用。通过本节课的学习的能进一步培养学生数形结合、分类讨论及从特殊到一般的数学思想，认识到数学来源于生活。
【学习者分析】
学生需要从中学习幂函数的定义、5个幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象及其性质和一般的幂函数的性质。学生在知识上已经掌握了指数幂的运算以及函数的定义、函数的单调性、奇偶性等性质。在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想。可以说学生对本节课的学习已有了一定的知识储备和能力基础。
【目标阐述】
（一）知识与能力
1.能阐述幂函数的概念，会用定义判断函数是否是幂函数。
2.能画出5个幂函数的图象。
3.掌握幂函数的性质，并能利用性质解决简单的数学问题。
（二）过程与方法
1.能从生活中的问题抽象出的5个幂函数中总结的特征，归纳出幂函数的定义。
2.能通过描点法做出5个幂函数的图象，探究幂函数的图象特征及性质。
3.能在研究幂函数的过程中获得研究函数的一般规律和方法。
（三）情感态度与价值观
1.在幂函数的定义归纳中，体会数学来源于生活。
2.体会从特殊到一般，数形结合和分类讨论的数学思想方法。
（四）教学重点
1.幂函数的定义与5个幂函数的图象。
2.幂函数的性质与应用。
（五）教学难点：
1.指数a对幂函数图象及性质的影响。
2.幂函数的性质的应用。
【过程设计】
一、创设情境，引入概念
师：首先请同学们看一下这5个生活中的实例，它们分别抽象出了5个函数。
问题1:请同学们看一下，这5个函数有什么共同特征？它是我们学过的函数吗？
1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数元，这里p是w的函数。
2.如果如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。
3.如果立方体的边长为a，那么立方体的体积，这里V是a的函数。
4.如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数。
5.如果某人t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度，这里v是t的函数。
师：具有这种特征的函数就是我们今天要学习的幂函数。
问题2：你能给幂函数下个定义吗？
师生活动：教师让学生在纸上写出幂函数的定义，请一位同学站起来回答，根据学生的回答在黑板上板书。
幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
师：幂函数和指数函数在形式上有些相似，请问同学们。
问题3：幂函数与指数函数有哪些相同点，哪些不同点？
师生活动：教师请学生4人一小组讨论，请2个小组中分别派1名学生回答。
PPT呈现：
不同点：
①指数函数的底是常数，指数是自变量；幂函数的底是自变量，指数是常数。
②指数函数的定义域是R，幂函数的定义域不一定是R。
相同点：
①都是指数幂的形式。
②指数幂前面的系数都是1。
师：在学习了幂函数的定义之后，接下来就要看看大家是否掌握了幂函数的定义。请大家实战演练一下。
问题4：1.判断下列函数是否为幂函数：
2.已知是幂函数，则m=
3. 幂函数经过点 ^ ^ ^(/)^(
师生活动：学生动笔写，第1、2题教师请学生齐答，第3题学生回答教师板书。
二、合作学习，探究新知
师：在学习了幂函数的定义之后，接下来我们是不是要看看幂函数长什么样子？请大家在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象。
师生活动：学生画图，教师巡视班级。5分钟后，教师用几何画板演示5个幂函数的图象在一个直角坐标系中的情形。
师：在知道了幂函数的图象之后，接下来我们是不是应该根据它的图象来研究幂函数的性质。
问题5：请大家根据图象，分别说出这5个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
师生活动：教师引导学生观察图象回答问题，并在几何画板中呈现答案。
师：那么我们将刚才所归纳的性质放在一个表格里。
问题6：观察表格，你能发现α和幂函数的奇偶性有什么关系？由此你能总结出什么规律？
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 偶 奇
单调性 增 [0,+∞)增(-∞,0]减 增 增 (0,+∞)减(-∞,0)减
定点 （1,1）
结论：当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数。
师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是1）时，让学生观察幂函数图象的奇偶性，由此来验证结论的正确性。
问题7：观察图象，你能找出5个函数的共同点吗？可以从定点、所在象限、定义域考虑。
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。
结论：①都过点（1,1）
②都不经过第四象限，并且都经过第一象限
③α>0时，都过点（0,0）
④在 //
问题8：在第一象限内，幂函数图象的趋势与指数α有什么关系？你能总结出规律吗？
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：当α ＞0 时，幂函数是增函数；当α ＜0 时，幂函数是减函数。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的单调性，由此来验证结论的正确性。
问题9：当α>0时，幂函数是增函数，但增长趋势却不同（开口方向），你能总结出规律吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：当 0＜α ＜1 时，幂函数图象开口向右；当α ＞1 时，幂函数图象开口向上。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的开口，由此来验证结论的正确性。
问题10：在第一象限内，当α<0时，幂函数是减函数，它们的图象有什么共同特征？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：在第一象限内，函数图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近。
师：在学习了幂函数的这么多性质之后，老师想看看大家掌握了多少。
问题11：这7个幂函数的指数分别，请将它们和函数图象配对。
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：学生独立思考。
师：你们目前判断起来是不是还比较困难，老师可以很快速地就看出来。只要你们再学习一个性质。
问题12：观察图象，你能总结出幂函数中指数α对图象的影响规律吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：在第一象限内，在直线x=1的右侧，从x轴起，幂函数图象“指大图高”。
教师用几何画板演示当α变化的时候幂函数在第一象限内的图象变化趋势。
师：接下来我们一起来根据这张表格，总结一下刚才所探究的幂函数的性质。
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并齐声回答。
范围
第一象限的图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
单调性 在[0，+∞）上单调增 在（0，+∞）上单调减
奇偶性 当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数。
统一性质 过定点（1，1），在（0，+∞）上均有定义。
三、巩固新知，应用提升
例1. 下列命题中正确的是（ ）
A.当α=0时，函数的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过（0,0）和（1,1）
C.若幂函数是奇函数，则它一定是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
例2.比较下列各组数的大小.
(1),;
(2),;
师生活动：以上各题都由学生独立完成，当学生解题遇到困难时教师给予引导。
例2是利用幂函数的单调性比较两个数的大小，不能直接进行比较时, 可寻找一个中间值, 间接比较上述两个数的大小。
四、课堂小结，布置作业
教师引导学生对本节课的知识进行小结：
①幂函数的定义。
②5个幂函数的图象与性质。
③一般幂函数的性质。
④研究函数的一般方法。
⑤数学思想方法：1.从特殊到一般2.数形结合3.分类讨论
布置作业：
1.作业本3.2
【板书设计】
3.2幂函数
一、定义
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
二、5个幂函数的图象
三、性质
①当α为奇数时，幂函数是奇函数；
当α为偶数时，幂函数是偶函数。
②，幂函数在[0，+∞）上单调增，
，幂函数在（0，+∞）上单调减
③在第一象限内，
当 0＜α ＜1 时，幂函数图象开口向右；
当α ＞1 时，幂函数图象开口向上。
王聪聪
【学习内容分析】
幂函数是人教版《普通高中课程标准试验教科 ( http: / / www.21cnjy.com )书 数学（A版）》必修1第二章2.3节的内容，本节课的主要内容是幂函数的定义、5个幂函数的图象及其性质，一般幂函数的性质。本节课是学生在学习了指数函数对数函数之后，学习函数的应用之前。它是学生学习了函数的概念和性质后学习的第三个基本初等函数。幂函数是目前为止学生学习的最复杂的基本初等函数，它的图象与性质相对于前两个都更加复杂，不是简单的分类讨论可以解决的，这对于学生来说是一个难点。研究指数函数和对数函数的方法可以用于本节课的研究，因此学习幂函数是对先前所学的方法的应用。通过本节课的学习的能进一步培养学生数形结合、分类讨论及从特殊到一般的数学思想，认识到数学来源于生活。
【学习者分析】
学生需要从中学习幂函数的定义、5个幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象及其性质和一般的幂函数的性质。学生在知识上已经掌握了指数幂的运算以及函数的定义、函数的单调性、奇偶性等性质。在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想。可以说学生对本节课的学习已有了一定的知识储备和能力基础。
【目标阐述】
（一）知识与能力
1.能阐述幂函数的概念，会用定义判断函数是否是幂函数。
2.能画出5个幂函数的图象。
3.掌握幂函数的性质，并能利用性质解决简单的数学问题。
（二）过程与方法
1.能从生活中的问题抽象出的5个幂函数中总结的特征，归纳出幂函数的定义。
2.能通过描点法做出5个幂函数的图象，探究幂函数的图象特征及性质。
3.能在研究幂函数的过程中获得研究函数的一般规律和方法。
（三）情感态度与价值观
1.在幂函数的定义归纳中，体会数学来源于生活。
2.体会从特殊到一般，数形结合和分类讨论的数学思想方法。
（四）教学重点
1.幂函数的定义与5个幂函数的图象。
2.幂函数的性质与应用。
（五）教学难点：
1.指数a对幂函数图象及性质的影响。
2.幂函数的性质的应用。
【过程设计】
一、创设情境，引入概念
师：首先请同学们看一下这5个生活中的实例，它们分别抽象出了5个函数。
问题1:请同学们看一下，这5个函数有什么共同特征？它是我们学过的函数吗？
1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数元，这里p是w的函数。
2.如果如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。
3.如果立方体的边长为a，那么立方体的体积，这里V是a的函数。
4.如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数。
5.如果某人t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度，这里v是t的函数。
师：具有这种特征的函数就是我们今天要学习的幂函数。
问题2：你能给幂函数下个定义吗？
师生活动：教师让学生在纸上写出幂函数的定义，请一位同学站起来回答，根据学生的回答在黑板上板书。
幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
师：幂函数和指数函数在形式上有些相似，请问同学们。
问题3：幂函数与指数函数有哪些相同点，哪些不同点？
师生活动：教师请学生4人一小组讨论，请2个小组中分别派1名学生回答。
PPT呈现：
不同点：
①指数函数的底是常数，指数是自变量；幂函数的底是自变量，指数是常数。
②指数函数的定义域是R，幂函数的定义域不一定是R。
相同点：
①都是指数幂的形式。
②指数幂前面的系数都是1。
师：在学习了幂函数的定义之后，接下来就要看看大家是否掌握了幂函数的定义。请大家实战演练一下。
问题4：1.判断下列函数是否为幂函数：
2.已知是幂函数，则m=
3. 幂函数经过点 ^ ^ ^(/)^(
师生活动：学生动笔写，第1、2题教师请学生齐答，第3题学生回答教师板书。
二、合作学习，探究新知
师：在学习了幂函数的定义之后，接下来我们是不是要看看幂函数长什么样子？请大家在同一平面直角坐标系内作出幂函数的图象。
师生活动：学生画图，教师巡视班级。5分钟后，教师用几何画板演示5个幂函数的图象在一个直角坐标系中的情形。
师：在知道了幂函数的图象之后，接下来我们是不是应该根据它的图象来研究幂函数的性质。
问题5：请大家根据图象，分别说出这5个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
师生活动：教师引导学生观察图象回答问题，并在几何画板中呈现答案。
师：那么我们将刚才所归纳的性质放在一个表格里。
问题6：观察表格，你能发现α和幂函数的奇偶性有什么关系？由此你能总结出什么规律？
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 偶 奇
单调性 增 [0,+∞)增(-∞,0]减 增 增 (0,+∞)减(-∞,0)减
定点 （1,1）
结论：当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数。
师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是1）时，让学生观察幂函数图象的奇偶性，由此来验证结论的正确性。
问题7：观察图象，你能找出5个函数的共同点吗？可以从定点、所在象限、定义域考虑。
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。
结论：①都过点（1,1）
②都不经过第四象限，并且都经过第一象限
③α>0时，都过点（0,0）
④在 //
问题8：在第一象限内，幂函数图象的趋势与指数α有什么关系？你能总结出规律吗？
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：当α ＞0 时，幂函数是增函数；当α ＜0 时，幂函数是减函数。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的单调性，由此来验证结论的正确性。
问题9：当α>0时，幂函数是增函数，但增长趋势却不同（开口方向），你能总结出规律吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：当 0＜α ＜1 时，幂函数图象开口向右；当α ＞1 时，幂函数图象开口向上。
师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？
师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的开口，由此来验证结论的正确性。
问题10：在第一象限内，当α<0时，幂函数是减函数，它们的图象有什么共同特征？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：在第一象限内，函数图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近。
师：在学习了幂函数的这么多性质之后，老师想看看大家掌握了多少。
问题11：这7个幂函数的指数分别，请将它们和函数图象配对。
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：学生独立思考。
师：你们目前判断起来是不是还比较困难，老师可以很快速地就看出来。只要你们再学习一个性质。
问题12：观察图象，你能总结出幂函数中指数α对图象的影响规律吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。
结论：在第一象限内，在直线x=1的右侧，从x轴起，幂函数图象“指大图高”。
教师用几何画板演示当α变化的时候幂函数在第一象限内的图象变化趋势。
师：接下来我们一起来根据这张表格，总结一下刚才所探究的幂函数的性质。
师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并齐声回答。
范围
第一象限的图象 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
单调性 在[0，+∞）上单调增 在（0，+∞）上单调减
奇偶性 当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数。
统一性质 过定点（1，1），在（0，+∞）上均有定义。
三、巩固新知，应用提升
例1. 下列命题中正确的是（ ）
A.当α=0时，函数的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过（0,0）和（1,1）
C.若幂函数是奇函数，则它一定是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
例2.比较下列各组数的大小.
(1),;
(2),;
师生活动：以上各题都由学生独立完成，当学生解题遇到困难时教师给予引导。
例2是利用幂函数的单调性比较两个数的大小，不能直接进行比较时, 可寻找一个中间值, 间接比较上述两个数的大小。
四、课堂小结，布置作业
教师引导学生对本节课的知识进行小结：
①幂函数的定义。
②5个幂函数的图象与性质。
③一般幂函数的性质。
④研究函数的一般方法。
⑤数学思想方法：1.从特殊到一般2.数形结合3.分类讨论
布置作业：
1.作业本3.2
【板书设计】
3.2幂函数
一、定义
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
二、5个幂函数的图象
三、性质
①当α为奇数时，幂函数是奇函数；
当α为偶数时，幂函数是偶函数。
②，幂函数在[0，+∞）上单调增，
，幂函数在（0，+∞）上单调减
③在第一象限内，
当 0＜α ＜1 时，幂函数图象开口向右；
当α ＞1 时，幂函数图象开口向上。