湖南省2024年中考数学试卷
1．（2024·湖南）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2024·湖南）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南）如图，该纸杯的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
7．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
9．（2024·湖南）如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·湖南）在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点” 为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点为“整点”，则点的个数为3个
C．若点为“超整点”，则点的个数为1个
D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10
11．（2024·湖南）计算： ．
12．（2024·湖南）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 ．
13．（2024·湖南）分式方程的解为 ．
14．（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ．
15．（2024·湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
16．（2024·湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 ．
17．（2024·湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
18．（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
19．（2024·湖南）计算：．
20．（2024·湖南）先化简，再求值：，其中．
21．（2024·湖南）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
22．（2024·湖南）如图，在四边形中，，点在边上， ▲ ．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
23．（2024·湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
24．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
25．（2024·湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；
（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
26．（2024·湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
（1）【初步感知】
如图1，当时， ▲ ；
（2）【问题探究】
以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入为“”，则支出为“”，
所以支出180元记作元．
故答案为：C.
【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体的正面观察，即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．
6．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称图形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，该选项是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，该选项是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为，该选项是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，该选项是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据多边形外角和，菱形的性质，轴对称图形的特点及两点之间线段最短，逐一判断即可作答.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可知，即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线的性质可判断正确，相似三角形的判定和性质可判断，即可得出结果.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴“整点”点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故答案为：C.
【分析】根据象限点的特征，先判断出a的取值范围，再根据题中新定义，找到符合条件的“整点”“超整点”，再由点到坐标轴的距离即可对四个选项逐一判断.
11．【答案】2024
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：
故答案为：2024.
【分析】根据相反数的定义，化简多重符号即可.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，
∴从中随机翻开一张，恰好翻到棋子“”的概率是．
故答案为：.
【分析】根据概率公式“概率所求情况数与总情况数之比”，即可作答．
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：最简公分母为：x+1
方程的两边同乘（x+1），得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
所以原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【分析】根据解分式方程的一般步骤，先找到分式方程的最简公分母，再去分母将分式方程化为整式方程求解，注意解后必须要检验.
14．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：等腰三角形两个底角相等，都为40°
所以其顶角.
故答案为：100.
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形内角和定理即可解答.
15．【答案】2
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得：
故答案为：2.
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，列出关于
k的方程，即可解答.
16．【答案】180
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得，
故答案为：180．
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式，即可求解.
17．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
18．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴
如图，延长交l于点H，连接
在中，，
，
∴
在中．
故答案为：．
【分析】根据已知条件，延长交l于点H，连接，构造出和，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.
19．【答案】解：原式．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
20．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算的法则，将原式先化简再代入求值即可.
21．【答案】（1）100
（2）“3项”的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（3）36
（4）（人，
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：人，
故答案为：100；
（3），
故答案为：36；
【分析】
（1）用参与1项家务劳动的人数除以其所占的比例即可得出结果；
（2）先根据（1）求出的总人数即可算出3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；
（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；
（4）总人数1200乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例，用样本数据估计总体．
22．【答案】（1）选择①或②，证明如下：
选择①，，
，
，
四边形为平行四边形；
选择②，，，
，
，
四边形为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即线段的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）若选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；若选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解．
23．【答案】（1）解：设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；
（2）解：设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
由题意得：，
解得：，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，根据“总费用不超过38000元”列一元一次不等式求解即可．
24．【答案】（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的长度，再由判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.
（2）过点A作于点M，先得出四边形AMEB是矩形，由性质得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的长，从而得到AB，再根据矩形的面积即可解答.
25．【答案】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
（2）证明：为定值，理由：
令，则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、、的表达式分别为：，、，、，，
则，
同理可得：，
则为定值；
（3）解：点、的表达式分别为：，、，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，
故的最大值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数解析式用待定系数法求解即可；
（2）先根据A、B两点坐标，求出直线的解析式，表示出，，，由，：，分别表示出的面积，代入即可解答；
（3）根据题意，若，则，根据P、Q坐标，求出直线的解析式，把代入直线解析式后，利用配方法即可求出线段长度的最大值．
26．【答案】（1）30
（2）①证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
②解：是切线，
，
，
．
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
如图，过作，垂足为，则，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，解得，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
【分析】（1）根据圆的半径相等，可证是等边三角形，则，再由切线的性质得到，故；
（2）①根据矩形的性质（对角线相等且互相平分）及切线的性质先证明，再由全等三角形的性质及矩形的性质（对边相等）推出结论；
②根据已知，由切线的性质及正切函数的定义，得出，再利用线段之间的关系证明出点在线段上，过作，垂足为，推出，再由相似的性质，得出EH、ED的关系，设，则，分别在、中使用勾股定理，建立等量关系式，用含m的式子表示a，表示出AB和CB，即可解答.
1 / 1湖南省2024年中考数学试卷
1．（2024·湖南）在日常生活中，若收入300元记作元，则支出180元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若收入为“”，则支出为“”，
所以支出180元记作元．
故答案为：C.
【分析】由正负数表示相反意义的量，根据题意，正数表示收入，那么负数表示支出，即可作答.
2．（2024·湖南）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．
3．（2024·湖南）如图，该纸杯的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该纸杯的主视图是选项A，
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体的正面观察，即可得出答案．
4．（2024·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
5．（2024·湖南）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．
6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称图形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，该选项是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，该选项是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为，该选项是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，该选项是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据多边形外角和，菱形的性质，轴对称图形的特点及两点之间线段最短，逐一判断即可作答.
7．（2024·湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可知，即可得到答案．
8．（2024·湖南）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
9．（2024·湖南）如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线的性质可判断正确，相似三角形的判定和性质可判断，即可得出结果.
10．（2024·湖南）在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中的值为整数时，称“整点” 为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点为“整点”，则点的个数为3个
C．若点为“超整点”，则点的个数为1个
D．若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，故选项A错误；
∵点为“整点”， ，
∴整数a为，，0，1，
∴“整点”点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为，，，，
∵，，，
∴“超整点”P为，故选项C正确；
∵点为“超整点”，
∴点P坐标为，
∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误，
故答案为：C.
【分析】根据象限点的特征，先判断出a的取值范围，再根据题中新定义，找到符合条件的“整点”“超整点”，再由点到坐标轴的距离即可对四个选项逐一判断.
11．（2024·湖南）计算： ．
【答案】2024
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：
故答案为：2024.
【分析】根据相反数的定义，化简多重符号即可.
12．（2024·湖南）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，
∴从中随机翻开一张，恰好翻到棋子“”的概率是．
故答案为：.
【分析】根据概率公式“概率所求情况数与总情况数之比”，即可作答．
13．（2024·湖南）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：最简公分母为：x+1
方程的两边同乘（x+1），得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
所以原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【分析】根据解分式方程的一般步骤，先找到分式方程的最简公分母，再去分母将分式方程化为整式方程求解，注意解后必须要检验.
14．（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：等腰三角形两个底角相等，都为40°
所以其顶角.
故答案为：100.
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形内角和定理即可解答.
15．（2024·湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得：
故答案为：2.
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式，列出关于
k的方程，即可解答.
16．（2024·湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 ．
【答案】180
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得，
故答案为：180．
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式，即可求解.
17．（2024·湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
18．（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴
如图，延长交l于点H，连接
在中，，
，
∴
在中．
故答案为：．
【分析】根据已知条件，延长交l于点H，连接，构造出和，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.
19．（2024·湖南）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
20．（2024·湖南）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算的法则，将原式先化简再代入求值即可.
21．（2024·湖南）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
【答案】（1）100
（2）“3项”的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（3）36
（4）（人，
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：人，
故答案为：100；
（3），
故答案为：36；
【分析】
（1）用参与1项家务劳动的人数除以其所占的比例即可得出结果；
（2）先根据（1）求出的总人数即可算出3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；
（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；
（4）总人数1200乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例，用样本数据估计总体．
22．（2024·湖南）如图，在四边形中，，点在边上， ▲ ．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）选择①或②，证明如下：
选择①，，
，
，
四边形为平行四边形；
选择②，，，
，
，
四边形为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即线段的长为6．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）若选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；若选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解．
23．（2024·湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
【答案】（1）解：设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；
（2）解：设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
由题意得：，
解得：，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设可以购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，根据“总费用不超过38000元”列一元一次不等式求解即可．
24．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
【答案】（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的长度，再由判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.
（2）过点A作于点M，先得出四边形AMEB是矩形，由性质得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的长，从而得到AB，再根据矩形的面积即可解答.
25．（2024·湖南）已知二次函数的图象经过点，点，，，是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值；
（3）如图2，点在第二象限，，若点在直线上，且横坐标为，过点作轴于点，求线段长度的最大值．
【答案】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
即抛物线的表达式为：；
（2）证明：为定值，理由：
令，则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点、、的表达式分别为：，、，、，，
则，
同理可得：，
则为定值；
（3）解：点、的表达式分别为：，、，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，
故的最大值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A点代入二次函数解析式用待定系数法求解即可；
（2）先根据A、B两点坐标，求出直线的解析式，表示出，，，由，：，分别表示出的面积，代入即可解答；
（3）根据题意，若，则，根据P、Q坐标，求出直线的解析式，把代入直线解析式后，利用配方法即可求出线段长度的最大值．
26．（2024·湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
（1）【初步感知】
如图1，当时， ▲ ；
（2）【问题探究】
以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
【答案】（1）30
（2）①证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
②解：是切线，
，
，
．
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
如图，过作，垂足为，则，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，解得，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
【分析】（1）根据圆的半径相等，可证是等边三角形，则，再由切线的性质得到，故；
（2）①根据矩形的性质（对角线相等且互相平分）及切线的性质先证明，再由全等三角形的性质及矩形的性质（对边相等）推出结论；
②根据已知，由切线的性质及正切函数的定义，得出，再利用线段之间的关系证明出点在线段上，过作，垂足为，推出，再由相似的性质，得出EH、ED的关系，设，则，分别在、中使用勾股定理，建立等量关系式，用含m的式子表示a，表示出AB和CB，即可解答.
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