新课标人教A版数学选修2-1《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》学案+几何画板（2份）

§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案
学习目标：
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示向量．
教学重点：空间向量的基本定理及正交分解，运用空间向量基本定理表示空间任一向量．
教学难点：空间向量的基本定理．
一、知识链接
1.平面向量基本定理：
如果是同一平面内两个 向量，那么对于这一平面内的任意一个向量，有且只有_____对实数，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取轴和轴正方向上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数，使得，则称有序对为向量的 ，即＝ .
二、学习过程：
探究：向量能否用表示？
空间向量基本定理：
例题：如图，在三棱锥中，为的重心，且两两垂直，
（1）试用向量表示.
（2）请选择三个向量作为另一个基底来表示.
正交分解及其坐标表示：
（3）若,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,求向量的坐标.
变：若呢？
作业：1、判断真假
空间的基底有且只有一个；
三个非零向量不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面；
若为空间的一个基底，则都不是零向量；
若为空间的一个基底，，则也是空间的一个基底.
2、在平行六面体中，，点在上，且，（1）用基底表示向量（2）要使和所在直线平行，则应在的什么位置？
3、已知是空间的一个正交基底，若向量在以向量为基底的坐标为，求向量在以向量为基底的坐标.
共面向量：
如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是___________
存在唯一的实数对，使得．
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得.其中向量叫做一组基底.
空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一有序实数组，
使得.
其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量.
特别地，正交，空间直角坐标系，坐标
推论：
设是空间不共面的四点，则对空间任意一点,都存在唯一的有序实数组,使得.
（若,则四点共面）
思考：正四面体，其棱长为．若
（，，），且满足，试确定动点的轨迹所
形成的空间区域。