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2．3 映射的概念
在某次数学测试中，高一·(16)班的60名同学都取得较好的成绩．把该班60名同学构成一个集合A，他们的成绩构成一个集合B.
问题1：集合A中的每一个同学，在集合B中能找到惟一成绩与其对应吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的每一个元素，在集合A中有几个元素与之对应？
提示：可能一个也可能多个．
问题3：从集合A到集合B中的对应是函数吗？为什么？
提示：不是函数．因为函数的对应是数集到数集的对应．
问题4：你能举出两个满足上述的对应，且不是函数吗？
提示：①数轴上的点集与实数集的对应；
②某中学同学与学号的对应．
映射的含义：设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的 元素，在B中都有 的元素与之对应，那么，这样的 叫做集合A到集合B的映射，记作： .
每一个
唯一
单值对应
f：A→B
1．映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即f具有方向性．
2．在A到B的映射中，A中每一个元素都可以在B中找到惟一一个元素和它对应，但A中的不同元素允许对应B中的相同元素．
3．映射是特殊的对应，它只允许“多对一”“一对一”，但不允许“一对多”．函数又是一种特殊的映射，它是建立在两个数集上的映射．
[例1] 下图中各图表示的对应构成映射的有_______．
[思路点拨] 利用映射的概念进行判断．
[精解详析] (1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有惟一的元素与之对应．
对于(4)(5)，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；
对于(6)，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
[答案] (1)(2)(3)
[一点通] 判断一个对应是A到B的映射，应从两个角度去分析：①“对于集合A中的每一个元素”；②在B中“有惟一的元素与之对应”，这两个条件缺一不可；若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可．
1．给出下列四个对应，是映射的是________．
解析：①不是映射，因为元素c没有对应元素；④不是映射，因为元素a有两个对应元素．只有②③符合映射的定义．
答案：②③
解：(1)∵1∈A，在f作用下，1→|1－1|＝0 B，
∴不是映射，故也不是函数．
(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射．又A，B均为数集，因此也能构成函数．
(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆惟一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数．
[例2] 设集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，f：P→Q是从集合P到集合Q的映射f：(x，y)→(x＋y，xy)．求
(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素；
(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素．
[思路点拨] (1)把(3,2)代入到对应法则就可求出对应元素；(2)可以采用方程(组)的思想求解．
[一点通] 求对应元素的一般思路是：若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．
3．在映射f：A→B中，A＝R，B＝R，且f：x→|2x＋3|，
则与B中的元素5对应的A中的元素为________．
解析：由|2x＋3|＝5得2x＋3＝5或2x＋3＝－5.
∴x＝1或x＝－4.
答案：1或－4
4．已知映射：f：A→B，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，
f：A中的元素(x，y)对应B中的元素为(3x－2y＋1,
4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)在B中对应的元素；
(2)B中元素(1,2)与A中哪个元素对应？
[例3] 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
[思路点拨] 需分“三对一”“三对二”
和“三对三”讨论，用图示表示．
[精解详析] (1)当A中元素都对应一个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以a，b，c必须都对应元素0.(如图)共有1个映射．
(2)当A中元素对应两个元素时，根据f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面4种情况
(3)当A中元素对应三个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面两种情况．
因此，满足题设条件的映射有7个．
[一点通] 对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
5．已知A＝{a，b}，B＝{0,1}，则有A到B的映射共
有________个．
解析：共有22＝4个．
答案：4
6．设M＝{a，b}，N＝{－2,0,2}，则从M到N的映射中满
足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________．
答案：6
对映射定义的理解：
(1)A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即从集合A到集合B的对应与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)集合A中每一个元素，在集合B中必须有对应元素，并且对应元素是惟一的；
(4)集合A中不同元素，在集合B中对应的元素可以是相同的；
(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应元素．
