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第21章 一元二次方程 单元测试
范围：一元二次方程
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若方程是关于 的一元二次方程，则□可以是( )
A. B.
C. D.
2.将方程 化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为( )
A. 7 B.
C. D.
3.已知关于的方程 的一个根为1，则实数 的值为( )
A. 4 B. C. 3 D.
4.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( )
A. B.
C. D.
5.一元二次方程 配方后可化为( )
A. B.
C. D.
6.方程 的两个根为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解.如图21-Z-1是一个解题过程，接力中，________负责的一步开始出现错误( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.已知，为一元二次方程 的两个根，那么 的值为( )
A.9 B.10 C.11 D. 12
9.关于方程 ,下列几位同学的说法中，正确的是 ( )
小明：当 时，方程无实数根；
小强：当 时，方程有两个相等的实数根；
小新：当 时，方程有两个不等的实数根；
小宇：方程有没有实数根与 无关.
A. 小明 B. 小强 C. 小新 D. 小宇
10.如图21-Z-2所示，，，， 为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点， 同时出发，点以的速度沿边向点移动，点以 的速度沿边向点 移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.当，两点从出发经过几秒时，点 ，之间的距离是 ( )
A.或 B. 或
C. D. 或
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.若关于的方程 是一元二次方
程，则 ___.
12.已知关于的方程，且 恰好是
该方程的根，则 的值为____.
13.当_________时，代数式 与 的值相等.
14.小伟同学在解关于的一元二次方程 时，
误将看作，结果解得， ，则原方程
的根是________________.
15.某县前年投入5亿元资金用于保障性住房建设，并计划投
入资金逐年增长，今年投入7.2亿元资金，则这两年投入资
金的年平均增长率为______.
16.我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长和宽共60步，问它的长比宽多多少步.若设该矩形田地的长为 步，则可列方程为________________.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（9分）解方程:
（1） ；
（2） ；
（3） （用配方法）.
18.（6分）已知关于 的一元二次方程有两个不等的实数根， .（1）求 的取值范围；
（2）若，求 的值.
19.（6分）用配方法解一元二次方程： .小明的解题过程如下：
解： ,
，
,
, .
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程.
20.（6分）如图21-Z-3，某小区有一块长为，宽为 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
21.（8分）如果关于的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根分别是2和4，则方程 就是“倍根方程”.
（1）判断一元二次方程 是不是“倍根方程”，并说明理由；
（2）若 是“倍根方程”，求代数式 的值.
22.（8分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程 正根的方法：如图21-Z-4，构造出4个长为，宽为 的矩形，围成一个边长为 的大正方形，所以， ，得到大正方形的面积为 ，所以大正方形的边长为12，所以 .
（1）请利用上述方法画出图形，求出方程 的正根，并写出分析过程；
（2）你能否用几何法求方程 的正根？如果能，请直接画出图形，标注相关信息.
23.（9分）小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，每天就会多售出3件.若工艺品的成本价为19元/件，设该工艺品的售价为 元/件 .
（1）请用含 的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为_________元；
②每天能售出该工艺品___________件.
（2）小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向中国红十字基金会捐款1元.若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价.
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2024秋人教九上数学精简课堂 阶段性检测讲解课件
第21章 一元二次方程
单元测试
范围：一元二次方程
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若方程是关于 的一元二次方程，则□可以
是( )
B
A. B. C. D.
2.将方程 化为一般形式后，常数项为3，则一
次项系数为( )
B
A. 7 B. C. D.
3.已知关于的方程 的一个根为1，则实数
的值为( )
B
A. 4 B. C. 3 D.
4.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，
其中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方
程为( )
C
A. B.
C. D.
5.一元二次方程 配方后可化为( )
D
A. B.
C. D.
6.方程 的两个根为( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，
规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计
算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解.如图21-Z-
1是一个解题过程，接力中，________负责的一步开始出现
错误( )
图21-Z-1
A
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.已知，为一元二次方程 的两个根，那
么 的值为( )
C
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
8.C [解析] 因为a为一元二次方程x2+2x-9=0的根,
所以a2+2a-9=0,即a2+2a=9.
因为a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,所以a+b=-2,
所以a2+a-b=a2+2a-a-b=9-(-2)=11.
故选C.
9.关于方程 ,下列几位同学的说法中，正确的是
( )
小明：当 时，方程无实数根；
小强：当 时，方程有两个相等的实数根；
小新：当 时，方程有两个不等的实数根；
小宇：方程有没有实数根与 无关.
C
A. 小明 B. 小强 C. 小新 D. 小宇
10.如图21-Z-2所示，，，， 为矩形的四个顶点，
，，动点，分别从点， 同时出
发，点以的速度沿边向点移动，点以
的速度沿边向点 移动，当其中一点到达终点时，另一
点也随之停止移动.当，两点从出发经过几秒时，点 ，
之间的距离是 ( )
图21-Z-2
A. 或 B. 或
C. D. 或
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.若关于的方程 是一元二次方
程，则 ___.
12.已知关于的方程，且 恰好是
该方程的根，则 的值为____.
13.当_________时，代数式 与 的值相等.
2
或
11.2 [解析] 根据题意,得|m|=2,且m+2≠0,解得m=2.
12.-2 [解析] 把x=a代入原方程,得a2+ab+2a=0.等式左右两边同时除以a,可得a+b+2=0,即a+b=-2.
14.小伟同学在解关于的一元二次方程 时，
误将看作，结果解得， ，则原方程
的根是________________.
，
15.某县前年投入5亿元资金用于保障性住房建设，并计划投
入资金逐年增长，今年投入7.2亿元资金，则这两年投入资
金的年平均增长率为______.
16.我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：
“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”
其意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的
长和宽共60步，问它的长比宽多多少步.若设该矩形田地的
长为 步，则可列方程为________________.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（9分）解方程:
（1） ；
解：移项，得 .
,, .
.
方程有两个不等的实数根
，
即， .
（2） ；
解：移项，得 ,
即 .
因式分解，得 .
于是得，或 ，
， .
（3） （用配方法）.
解：移项，得 .
配方，得 ，
.
由此可得 ,
， .
18.（6分）已知关于 的一元二次方程
有两个不等的实数根， .
（1）求 的取值范围；
解：根据题意，得
，
解得 .
（2）若，求 的值.
解：根据题意，得 .
因为 ，
所以 ，
解得， .
又因为，所以 .
19.（6分）用配方法解一元二次方程： .小
明的解题过程如下：
解： ,
，
,
, .
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不
正确，请写出正确的解题过程.
解：小明的解题过程不正确.
正确的解题过程如下：
二次项系数化为1，得 .
移项，得 .
配方，得 ，
.
由此可得 ，
， .
图21-Z-3
20.（6分）如图21-Z-3，某小区有一块长
为，宽为 的矩形空地，计划
在其中修建两块相同的矩形绿地，它们
的面积之和为 ，两块绿地之间及
周边有宽度相等的人行通道，则人行通
道的宽度为多少米？
图21-Z-3
解：设人行通道的宽度为 ，则两块矩
形绿地合在一起组成的矩形的相邻两边
长分别为， .
依题意，得 .
整理，得 ，
解得， .
当时， ，不合题意，舍去，
故 .
答：人行通道的宽度为 .
21.（8分）如果关于的一元二次方程 有两
个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的
方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两
个根分别是2和4，则方程 就是“倍根方程”.
（1）判断一元二次方程 是不是“倍根方程”，
并说明理由；
解：是“倍根方程”.
理由如下：解方程,得， ，
因此方程 是“倍根方程”.
（2）若 是“倍根方程”，求代
数式 的值.
解：解方程,得， .
因为 是“倍根方程”，
所以 或4.
当时，，即 ，
此时 ;
当时，，即 ，
此时 .
综上所述， .
图21-Z-4
22.（8分）我国古代数学家赵爽在《勾股
圆方图注》中记载了用几何法对一元二次
方程进行求解的方法，例如：求方程
正根的方法：如图21-Z-4，
构造出4个长为，宽为 的矩形，围成
一个边长为 的大正方形，所以
， ，得到大正方形的面
积为 ，所以大正方形
的边长为12，所以 .
（1）请利用上述方法画出图形，求出方程
的正根，并写出分析过程；
图21-Z-4
解：因为 ,
所以 .
如图①,构造出4个长为,宽为 的矩形，
围成一个边长为 的大正方形，则大
正方形的面积等于四个小矩形的面积加上中
间小正方形的面积，即
，所以大正方形的边
长为 ，
即,所以 .
（2）你能否用几何法求方程 的正根？如
果能，请直接画出图形，标注相关信息.
图21-Z-4
解：能，画出图形如图②.
23.（9分）小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上
销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售
出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，每天就会多售
出3件.若工艺品的成本价为19元/件，设该工艺品的售价为
元/件 .
（1）请用含 的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为_________元；
②每天能售出该工艺品___________件.
解：因为当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，
且每件的售价每降低1元，每天就会多售出3件，该工艺品
的售价为 元/件，
所以每天能售出该工艺品 件.
故答案为 .
[答案]
（2）小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向
中国红十字基金会捐款1元.若每天销售该工艺品的纯利润为
900元，求该工艺品的售价.
[答案] 依题意，得 .
整理，得 ，
解得， .
又因为 ，
所以 不符合题意，舍去.
答：该工艺品的售价为30元/件.
谢谢
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第21章 一元二次方程 单元测试
范围：一元二次方程
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.若方程是关于 的一元二次方程，则□可以是( )
A. B.
C. D.
B
2.将方程 化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为( )
A. 7 B.
C. D.
B
3.已知关于的方程 的一个根为1，则实数 的值为( )
A. 4 B. C. 3 D.
B
4.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( )
A. B.
C. D.
C
5.一元二次方程 配方后可化为( )
A. B.
C. D.
D
6.方程 的两个根为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
D
6.D [解析] 因式分解,得(x+1)(x+3)=0.于是得x+1=0,或x+3=0,
x1=-1,x2=-3.故选D.
所以a2+a-b=a2+2a-a-b=9-(-2)=11.故选C.
7.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解.如图21-Z-1是一个解题过程，接力中，________负责的一步开始出现错误( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
A
8.已知，为一元二次方程 的两个根，那么 的值为( )
A.9 B.10 C.11 D. 12
8.C [解析] 因为a为一元二次方程x2+2x-9=0的根,
所以a2+2a-9=0,即a2+2a=9.
因为a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,所以a+b=-2,
所以a2+a-b=a2+2a-a-b=9-(-2)=11.
故选C.
9.关于方程 ,下列几位同学的说法中，正确的是 ( )
小明：当 时，方程无实数根；
小强：当 时，方程有两个相等的实数根；
小新：当 时，方程有两个不等的实数根；
小宇：方程有没有实数根与 无关.
A. 小明 B. 小强 C. 小新 D. 小宇
C
10.如图21-Z-2所示，，，， 为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点， 同时出发，点以的速度沿边向点移动，点以 的速度沿边向点 移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.当，两点从出发经过几秒时，点 ，之间的距离是 ( )
A.或 B. 或
C. D. 或
【答案】D
10.D [解析] 设当P,Q两点从出发经过x s0≤x≤时,点P,Q之间的距离是10 cm,此时AP=3x cm,DQ=(16-2x)cm.根据题意,得(16-2x-3x)2+82=102,解得x1=2,x2=,即当P,Q两点从出发经过2 s或 s时,点P,Q之间的距离是10 cm.故选D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.若关于的方程 是一元二次方
程，则 ___.
11.2 [解析] 根据题意,得|m|=2,且m+2≠0,解得m=2.
12.已知关于的方程，且 恰好是
该方程的根，则 的值为____.
12.-2 [解析] 把x=a代入原方程,得a2+ab+2a=0.等式左右两边同时除以a,可得a+b+2=0,即a+b=-2.
13.当_________时，代数式 与 的值相等.
13.-1或-2 [解析] 根据题意,得(x+1)(x-5)=(3x-1)(x+1),
所以(x+1)(x-5)-(3x-1)(x+1)=0,
所以(x+1)(-2x-4)=0,
则x+1=0,或-2x-4=0,
解得x1=-1,x2=-2.
14.小伟同学在解关于的一元二次方程 时，
误将看作，结果解得， ，则原方程
的根是________________.
，
14.x1=4,x2=-1 [解析] 由题意,得方程x2+3x+m=0的解为x1=1,x2=-4,可得m=-4,
故原方程为x2-3x-4=0,
解得x1=4,x2=-1.
15.某县前年投入5亿元资金用于保障性住房建设，并计划投
入资金逐年增长，今年投入7.2亿元资金，则这两年投入资
金的年平均增长率为______.
15.20% [解析] 设这两年投入资金的年平均增长率为x.
依题意,得5(1+x)2=7.2,
16.我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长和宽共60步，问它的长比宽多多少步.若设该矩形田地的长为 步，则可列方程为________________.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（9分）解方程:
（1） ；
解：移项，得 .
,, .
.
方程有两个不等的实数根
，
即， .
（2） ；
解：移项，得 ,
即 .
因式分解，得 .
于是得，或 ，
， .
（3） （用配方法）.
解：移项，得 .
配方，得 ，
.
由此可得 ,
， .
18.（6分）已知关于 的一元二次方程有两个不等的实数根， .（1）求 的取值范围；
解：根据题意，得
，
解得 .
（2）若，求 的值.
解：根据题意，得 .
因为 ，
所以 ，
解得， .
又因为，所以 .
19.（6分）用配方法解一元二次方程： .小明的解题过程如下：
解： ,
，
,
, .
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程.
解：小明的解题过程不正确.
正确的解题过程如下：
二次项系数化为1，得 .
移项，得 .
配方，得 ，
.
由此可得 ，
， .
20.（6分）如图21-Z-3，某小区有一块长为，宽为 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
解：设人行通道的宽度为 ，则两块矩形绿地合在一起组成的矩形的相邻两边
长分别为， .
依题意，得 .
整理，得 ，
解得， .
当时， ，不合题意，舍去，
故 .
答：人行通道的宽度为 .
21.（8分）如果关于的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程 的两个根分别是2和4，则方程 就是“倍根方程”.
（1）判断一元二次方程 是不是“倍根方程”，并说明理由；
解：是“倍根方程”.
理由如下：解方程,得， ，
因此方程 是“倍根方程”.
（2）若 是“倍根方程”，求代数式 的值.
解：解方程,得， .
因为 是“倍根方程”，
所以 或4.
当时，，即 ，
此时 ;
当时，，即 ，
此时 .
综上所述， .
22.（8分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程 正根的方法：如图21-Z-4，构造出4个长为，宽为 的矩形，围成一个边长为 的大正方形，所以， ，得到大正方形的面积为 ，所以大正方形的边长为12，所以 .
（1）请利用上述方法画出图形，求出方程 的正根，并写出分析过程；
解：因为 ,
所以 .
如图①,构造出4个长为,宽为 的矩形，围成一个边长为 的大正方形，则大正方形的面积等于四个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，所以大正方形的边长为 ，即,所以 .
（2）你能否用几何法求方程 的正根？如果能，请直接画出图形，标注相关信息.
解：能，画出图形如图②.
23.（9分）小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，每天就会多售出3件.若工艺品的成本价为19元/件，设该工艺品的售价为 元/件 .
（1）请用含 的代数式填空：
①销售每件工艺品的利润为_________元；
②每天能售出该工艺品___________件.
解：因为当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，每天就会多售出3件，该工艺品的售价为 元/件，所以每天能售出该工艺品 件.故答案为 .
[答案]
（2）小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向中国红十字基金会捐款1元.若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价.
[答案] 依题意，得 .
整理，得 ，
解得， .
又因为 ，
所以 不符合题意，舍去.
答：该工艺品的售价为30元/件.
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