绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考
数学参考答案及评分标准
单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B C D D A
多选题
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
填空题
12、 13、0 14、
四、解答题
15.
（1）由余弦定理知
…………………………………………………….……..3分
又故； ……………………………………………………….…..6分
（2）由三角形的面积公式
从而， …………………………………….……..8分
若,，……………10分
若，，…12分
从而 …………………………………..13分
16.（1）因为，
当时，，解得；………………………………………………...2分
当时，，所以，所以;………4分
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以. …………………………………………………………………….6分
（2）由（1）可得，
又在上单调递减，则在上单调递增，
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，………………………………………10分
所以当时取得最大值为，当时取得最小值为，
因为，恒成立，
所以，解得，………………………………………………… …...14分
所以的取值范围为. …………………………………………………………...15分
17.（1）由，，，
……………………… …….3分
所以
……………………………………....7分
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
（2）由题意可得：，….11分
所以关于的回归直线方程为． ………………………………………….…………..13分
当时，，
由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5……………………………..…15分
18.（1）
………………………………………………………………..….2分
故在处的切线方程为，即…………………4分
（2） ，若存在这样的，使得为的对称中心，
则， …………………………………………………….……6分
现在只需证明当时，事实上，
于是………………………………………………………………….8分
即存在实数使得是的对称中心. ………………………………………. .9分
（3），
3.1）当时，
时，故在上单调递增，
时，，单调递减， ………………………………………………..10分
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，而，根据零点存在定理在上有一个零点；
i)若，即， 在无零点，从而在上有1个零点；
………………………………………………………….11分
ii)若，即，，在有一个零点,
，故在有一个零点，从而在上有3个零点；
……………………………………………………………12分
iii)若，即，在有一个零点，从而在上有2个零点；
……………………………………………………………..13分
3.2)当时，在上单调递增，， 时，，从而在上有一个零点； …………………………………………………….....14分
3.3）当时，时，故在上单调递增，时，，单调递减. ………………………….15分
而，，故在无零点，又，由，故，，从而在有一个零点，从而在上有一个零点.
………………………………………………..…..16分
综上：当时，在上只有1个零点；时，在上有2个零点；时在上有3个零点。
…………………………………..17分
19.（1）当时，，
， ……………………………….……………..2 分
当，即时，，
故单调递增区间为； ………………………………………………………4分
（2），令，即，
令，，则、是方程的两个正根，……………………...6分
则，即， ………………………..…8分
有，，即，………………………………………...……..10分
（3）
，……………………………………………………………………….12分
要证，即证，
令，
则，
令，则，
则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，…………………………..13分
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，………………15分
又，则，故，
即，即. ………………………………………..17分
答案第4页，共5页
答案第1页，共5页2024年9月
绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考试题
数 学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
5．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．牛奶的温度从50降至还需
C． D．牛奶的温度从50降至还需
7．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列函数中，是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．饭前服药的患者中，药效强的频率为
B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为
C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
11．已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数为偶函数
C． D．函数的周期为4
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.)
12．若，，则 .
13．函数的所有零点的和等于 .
14．对任意的，不等式恒成立，则实数
= .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）中，内角的对边分别为，且.
(1)若，求；
(2)若的面积为，求.
16．（15分）在数列中，是其前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，恒成立，求的取值范围．
17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示:
第天 1 2 3 4 5
高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
18．（17分）函数.
(1)若1，求函数在处的切线方程；
(2)证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形；
(3)讨论函数零点的个数.
19．（17分）已知.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
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