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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
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（湘教版）九年级
上
3.1.1比例的基本性质
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.回顾小学所学的比例的定义。
2.学生能够理解比例的基本定义，掌握比例的基本性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题。
3.通过计算、观察、发现、自学等方式，培养学生的自主探究能力和合作交流能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的数学思维。
新知导入
观 察
约分：
1. = 2. =
3. = 4. =
5. = 6. =
观察题中的结果，你发现了什么？
= = ;
= = 2;
= = .
新知导入
如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例．
现在我们学习了实数， 把这四个数理解为实数， 写成式子就是， 如果
a:b=c:d 或 = ，
则称a,b,c,d成比例，其中b,c称为比例内项,a,d 称为比例外项．
新知讲解
如果四个数a,b,c,d成比例， 即
= ①
那么ad=bc吗？
动脑筋
在①式两边同乘bd,得
ad=bc．
比例的基本性质：
如果= ,那么ad=bc．
新知讲解
说一说
如果ad=bc,其中a,b,c,d为非零实数,= 成立吗？
= 成立，原因如下：
∵ a,b,c,d为非零实数，
∴bd≠0,
∵ad=bc,
∴ = ,
∴ =
典例精析
例1
已知四个非零实数a,b,c,d成比例， 即 = .①
下列各式成立吗？ 若成立， 请说明理由．
= ,②
= ,③
= .④
典例精析
解 :
由于两个非零数相等， 则它们的倒数也相等，
因此， 由①式可以立即得到②式， 即②式成立．
由①式得ad=bc．
在上式两边同除以cd， 得 = ．
在①式两边都加上1， 得+1= +1．
由此得到 = ．
典例精析
反比性质: 若 = ，则 = ；
更比性质: 若 = ，则 = ；
合比性质: 若 = ，则 = .
比例的基本性质：
如果 = ,那么ad=bc．
如果ad=bc,那么=．
典例精析
例2
根据下列条件， 求a:b的值：
(1) 4a=5b； (2) = ．
解：(1)∵ 4a=5b，∴ =.
(2)∵ =, ∴ 8a=7b, ∴ =
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.已知，且，则，一定满足（ ）
A．， B．，
C． D．
2.已知 ，那么下列等式中错误的是（ ）
A．3x＝2y B． C． D．x＝2，y＝3
D
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.求下列各式中的x．
（1）x:2=3:4．
（2）=2
（1）解： x:2=3:4 ，
4x=2×3，
解得：x=1.5.
（2）解： =2 ，
x-1=2(x+2），
x-2x=4+1，
解得：x=-5，
经检验：x=-5是分式方程的解.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.已知 2 ，则 的值是（ ）
A．5 B．-3 C．3 D．-3
5.已知，则 .
6.若，则 .
B
2
4.5
【综合拓展类作业】
课堂练习
根据下列条件，求x:y的值．
（1） ;
（2）(x+y):y=4:5．
【答案】（1）解：∵
∴3y=4x，即x:y=.
（2）解：∵ (x+y):y=4：5，
∴5(x+y)=4y，
∴5x=-y，即x:y=.
课堂总结
反比性质: 若=，则 =；
更比性质: 若=，则 = ；
合比性质: 若=，则 = .
比例的基本性质：
如果= ,那么ad=bc．
如果ad=bc,那么=．
板书设计
比例的基本性质：
反比性质：
更比性质：
合比性质：
3.1.1比例的基本性质
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）.
D
解：∵，
可设x=3k，y=2k，
（1）；
（2） .
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.已知：线段a、b、c，满足 ，且a+b+c=27，求a-b+c的值．
解：设 ，则a=2k，b=3k，c=4k.
∵a+b+c=27，
∴2k+3k+4k =27， 即9k=27，
解得k=3
∴a=6，b=9，c=12，
∴a-b+c=6-9+12=9.
【综合拓展类作业】
作业布置
已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
【答案】（1）解：设，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴3；
【综合拓展类作业】
作业布置
【答案】（2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+b+2c=-30，
∴2×2k+3k+2×4k=-30，
解得：k=-2，
∴a=-4，b=-6，c=-8．
已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
Thanks!
2
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分课时教学设计
第一课时《3.1比例线段》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 湘教版九年级上册数学教材中，比例的基本性质是重要的一课，它建立在学生已经掌握了比的知识和实数概念的基础上。本节课主要内容包括比例的概念、比例的基本性质、比例式的变形以及利用比例的基本性质解决实际问题等。教材首先带领学生回顾比例的知识，再通过逐步深入的方式，引导学生理解比例的基本性质，并通过例题推理得到推论，这些都对后续的学习起着重要的作用
学习者分析 学生在学习《3.1.1比例的基本性质》之前，已经具备了一定的比和比例的基础知识，能够识别并计算简单的比例。然而，对于比例的基本性质，学生可能还缺乏深入地理解和系统地掌握。因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过计算、观察、发现、自学等方式，自主探究比例的基本性质。同时，由于学生的数学基础和学习能力存在差异，教师在教学时应注重因材施教，关注不同层次学生的学习需求，确保每位学生都能在原有基础上有所提高。
教学目标 1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义，掌握比例的基本性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题。 3.通过计算、观察、发现、自学等方式，培养学生的自主探究能力和合作交流能力。 4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的数学思维。
教学重点 1.比例的基本定义和性质。 2.运用比例的基本性质解决实际问题。
教学难点 1.理解比例的基本性质及推论。 2.灵活运用比例性质解决复杂问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 观察： 约分： 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 6. = 观察题中的结果，你发现了什么？ 教师讲授：==;==2;==. 如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例． 教师讲授：现在我们学习了实数， 把这四个数理解为实数， 写成式子就是， 如果 a:b=c:d 或 = ，则称a,b,c,d成比例，其中b,c称为比例内项,a,d 称为比例外项．学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如果四个数a,b,c,d成比例， 即= ①那么ad=bc吗？ 教师讲授：在①式两边同乘bd,得ad=bc． 比例的基本性质： 如果= ,那么ad=bc． 说一说 如果ad=bc,其中a,b,c,d为非零实数,= 成立吗？ 教师讲授： = 成立，原因如下： ∵ a,b,c,d为非零实数， ∴bd≠0, ∵ad=bc, ∴=, ∴ = 学生活动2： 认真思考，进行证明 认真听讲，了解比例的基本性质 独立思考，进行证明 认真听讲，了解比例的又一基本性质活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例1已知四个非零实数a,b,c,d成比例， 即= .① 下列各式成立吗？ 若成立， 请说明理由． = ,② = ,③ = .④ 解 : 由于两个非零数相等， 则它们的倒数也相等， 因此， 由①式可以立即得到②式， 即②式成立． 由①式得ad=bc． 在上式两边同除以cd， 得=． 在①式两边都加上1， 得+1= +1． 由此得到 =． 例2根据下列条件， 求a:b的值： (1) 4a=5b； (2) = ． 解：(1)∵ 4a=5b，∴ =. (2)∵ =, ∴ 8a=7b, ∴ =学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 比例的基本性质： 如果= ,那么ad=bc． 如果ad=bc,那么=． 反比性质:若=，则 =； 更比性质:若=，则 = ； 合比性质:若=，则 = .学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知，且，则，一定满足（ ） A．， B．， C． D． 2.已知 ，那么下列等式中错误的是（ ） A．3x＝2y B． C． D．x＝2，y＝3 3.求下列各式中的x． （1）x:2=3:4． （2）=2 选做题： 4.已知 ，则 的值是（ ） A．5 B．-3 C．3 D．-3 5.已知，则 . 6.若，则 . 【综合拓展类作业】 根据下列条件，求x:y的值． （1） （2）(x+y):y=4:5．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）. 3.已知：线段a、b、c，满足 ，且a+b+c=27，求a-b+c的值． 【综合拓展类作业】 已知， （1）求； （2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
教学反思 在《3.1.1比例的基本性质》的教学过程中，我注重从学生已有知识出发，精心寻找新旧知识的联接点，通过设疑、探究、应用三个教学环节，引导学生自主探究比例的基本性质。在教学过程中我发现了一些问题。例如，部分学生在理解比例性质的反比性质、更比性质和合比性质时存在困难，需要教师在讲解时更加细致和深入。此外，部分学生在运用比例性质解决实际问题时缺乏灵活性，需要教师在练习环节加强指导和训练。针对这些问题，我将在今后的教学中进一步改进教学方法，加强对学生思维能力的培养和训练，确保每位学生都能掌握比例的基本性质并灵活运用。
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