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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 4.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 6.了解相似三角形判定定理的证明。 7.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第三章《图形的相似》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.本章内容主要围绕图形的相似性质、相似三角形的判定与性质、位似图形以及相似图形在现实生活中的应用等方面展开。本章注重知识的连贯性和系统性，将相似图形的概念与全等图形、比例线段等知识相联系，形成完整的知识体系。同时本章还强调数学与生活的联系，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学的应用价值。
学情分析 学生在进入《图形的相似》这一章节之前，已经学习了图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等相关知识，具备了一定的几何基础和逻辑思维能力。然而，相似图形与全等图形在概念上存在本质区别，学生需要克服思维定势，理解“形状相同但大小不一定相同”的图形即为相似图形。 一、学生基础： 1.学生对图形的全等、全等三角形的性质、全等三角形的判定等概念已有一定了解。 2.学生具备初步的几何直觉和逻辑推理能力。 二、学习难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 三、学习兴趣： 1.学生对与现实生活紧密相关的数学问题通常表现出较高的兴趣。 2.通过动手实验和探究活动，可以激发学生的学习兴趣和积极性。
单元目标 （一）教学目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 3.通过具体实例认识图形的相似。 4.了解相似多边形和相似比。 5.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 6.学会判断两个图形是否相似。 7.掌握相似三角形的判定与性质。 8.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 9.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 10.能够运用相似图形的知识解决实际问题。通过观察、操作、猜想、验证等实践活动，培养学生的几何思维能力和图形变换能力。 11.引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.相似图形的定义和性质。 2.相似三角形的判定与性质。 3.相似图形在现实生活中的应用。 教学难点： 1.理解相似图形的概念及其与全等图形的区别。 2.掌握相似三角形的判定与性质，并能灵活运用解决实际问题。 3.培养学生的几何直觉和逻辑推理能力，使其能够自主探索和发现图形的相似性质。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1比例线段23.2平行线分线段成比例13.3相似图形13.4相似三角形的判定与性质63.5相似三角形的应用13.6位似2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1比例的基本性质1.回顾小学所学的比例的定义。 2.学生能够理解比例的基本定义。 3.掌握比例的基本性质。 4.并能运用这些性质解决简单的实际问题。能够运用比例的基本性质及推论解决问题。任务一：回顾小学所学的比例的定义。 任务二：探究并掌握比例的基本性质。 任务三：例题精讲，理解比例的基本性质的推论。 任务四：习题检测。3.1.2成比例线段1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。1.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手测量，探究成比例线段。 任务三：求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 任务四：习题检测。3.2平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线分线段成比例的定理及其推论。 2.能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。能够运用定理解决实际问题，如计算线段长度、证明线段成比例等。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：观察图象，推论证明平行线分线段成比例的定理。 任务三：运用定理解决实际问题。 任务四：习题检测。3.3相似图形1.让学生掌握相似图形的定义和性质，理解相似比的概念，学会运用相似性质解决实际问题。 2.探究并理解相似三角形的概念和性质用相似性质解决实际问题。任务一：情境导入，利用几何直观 任务二：理解相似图形的性质 任务三：探究相似三角形的概念和性质 任务四：习题检测.3.4.1相似三角形的判定（1）1.经历相似三角形判定定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的证明过程。 2.理解并掌握相似三角形的判定定理一。 3.能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。能够利用平行线判定三角形相似，并能证明相关结论。任务一：回顾相似图形、相似三角形的定义和性质。 任务二：经历相似三角形的判定定理一的证明过程。 任务三：利用平行线判定三角形相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（2）1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（3）1.学生能够理解并掌握相似三角形的判定定理2：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 2.学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣。学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.1相似三角形的判定（4）1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似。 2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。3.引导学生经历定理的推导过程，体验数学探究的乐趣学生能够熟练运用定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：回顾直相似三角形的判定方法。 任务二：经历定理的推导过程。 任务三：运用该定理判定两个三角形是否相似。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（1）1.使学生掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2.通过性质定理的推导和应用，培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和问题解决能力。学生能够熟练运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：经历相似三角形的性质定理的条件过程 任务三：运用相似三角形的性质定理解决与相似三角形相关的实际问题。 任务四：习题检测。3.4.2相似三角形的性质（2）1.学生能够理解相似三角形面积比与相似比之间的关系，即面积比等于相似比的平方。 2.学生能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。能够掌握面积比的计算方法，并能够运用这一性质解决实际问题。任务一：回顾相似三角形的性质。 任务二：探究相似三角形面积比与相似比之间的关系。 任务三：运用这一性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.5相似三角形的应用1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：相似三角形的应用。 任务三：运用相似三角形的知识解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（1）1.学生能够理解和掌握位似图形的概念、性质和画法。 2.学生能够利用位似图形的性质解决实际问题。能够利用位似图形的性质解决实际问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解位似图形的概念、性质和画法。 任务三：利用位似图形的性质解决实际问题。 任务四：习题检测。3.6位似（2）1.理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 2.掌握位似图形在坐标系中对应点坐标的变化规律。 3.能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 4.引导学生经历位似图形性质的探索过程，培养他们的探究能力和问题解决能力。能够利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解平面直角坐标系中位似图形的定义和性质。 任务三：利用坐标变化规律进行位似图形的作图和应用。 任务四：习题检测。
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（湘教版）九年级
上
3.1.2成比例线段
图形的相似
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。
2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。
3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。
4.灵活运用比例线段的性质解决实际问题，体会数形转化的思想。
新知导入
反比性质: 若=，则 =；
更比性质: 若=，则 = ；
合比性质: 若=，则 = .
比例的基本性质：
如果= ,那么ad=bc．
如果ad=bc,那么=．
新知讲解
如图,在方格纸上（设小方格边长为单位 1）有△ABC 和△A′B′C′,它们的顶点 都 在 格 点 上 . 试 求 出 线 段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度,并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与 A′C′的长度的比值.
做一做
新知讲解
AB==；
BC=2；
AC==；A B ==2；
B C =4；
A C ==.
===
新知讲解
一般地， 如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A′B′的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比,记作=,或 AB∶A′B′=m∶n .
如果的比值为k,那么上述式子也可写成=或AB=k·A′B′．
新知讲解
在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段， 简称为比例线段.
已知四条线段 a,b,c,d,若= ,则a,b,c,d是比例线段.
如果==,那么称线段 AB,BC,AC与线段A′B′,B′C′,A′C′对应成比例.
典例精析
例3
已知线段a,b,c,d成比例，的长度分别为0.8cm,2cm,1.2cm,3cm,问a,b,c,d是比例线段吗？
解 :
∵==0.4, ==0.4．
∴ =，即a,b,c,d是比例线段.
再探新知
古希腊数学家、 天文学家欧多克索斯(约前400—约前347)曾经提出一个问题：
能否将一条线段AB分成不相等的两部分， 使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比 即， 使得=①成立？
如果这能做到的话， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点， 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．
再探新知
你能求出黄金分割比的数值吗？
思 考
设线段AB的长度为 1个单位， 点 C为线段 AB上一点， 且AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位． 根据①式， 列出方程：
=
再探新知
由于x≠0， 因此方程②两边同乘x， 得1x=x2，
即x2+x1=0.
解得x1=, x2=(舍去).
因此， =≈0.618.
事实上， 我们一定可以把一条线段黄金分割， 黄金分割比为 ， 它约等于0.618．
再探新知
帕提侬神庙
泰姬陵
希腊的帕提侬神庙、 印度泰姬陵、 法国巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与底部宽度之比均约为黄金分割比.
再探新知
在意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长度是（ ）
A． B． C． D．
2.点B是线段AC的黄金分割点，且AB
A． B． C． D．
3.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是 ．
A
B
9
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.若点是线段的黄金分割点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
5.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm
C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm
D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
6.一个比例为1：10000的矩形草坪示意图的长、宽分别为5cm，2cm，则此矩形草坪的实际面积为 m2．
C
C
100000
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知线段AB=10cm，点P，Q是线段AB的两个不同的黄金分割点，求线段PQ的长．
解：如图，
不妨设AP∴PQ=AQ+PB-AB=(10-20)cm．
课堂总结
已知四条线段 a,b,c,d,若= ,则a,b,c,d是比例线段.
如果==,那么称线段 AB,BC,AC与线段A′B′,B′C′,A′C′对应成比例.
把一条线段黄金分割， 黄金分割比为 ， 它约等于0.618．
板书设计
比：
成比例线段：
黄金分割比：
3.1.2成比例线段
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.人以肚脐为界，下身与身高比例符合“黄金分割”比例，在人的视觉里看，是最完美的比例，身高为170cm的人，满足“黄金分割”比例的腿长约为( )
A.100 cm
B．104 cm
C．105 cm
D．112 cm
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是( )
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB
3.如果点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，那么BD∶AB＝________，CD∶AC＝_______．
C
1:4
1:2
【综合拓展类作业】
作业布置
已知a，b，c，d是成比例线段．
(1)若b＝，c＝2，d＝9，求a；
(2)若a＝4 cm，b＝(x1)cm，c＝10 cm，d＝(x＋2)cm，求x.
解：(1)∵a，b，c，d成比例，
∴，即，
∴a＝.
(2)由题意有，则4(x＋2)＝10(x－1)，∴x＝3
23
Thanks!
2
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分课时教学设计
《3.1.2比例线段》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《3.1.2成比例线段》是初中数学中关于几何与比例的重要内容，通常出现在湘教版八年级上册。本节课在学习了线段、比例等基本概念的基础上，进一步探讨线段之间的比例关系，即成比例线段的概念和性质。教材通过几何图形引导学生理解线段的比，并学习如何判断四条线段是否成比例。同时，教材也涉及了黄金分割的概念和应用，使学生从数学的角度欣赏和理解自然界中的美。
学习者分析 九年级学生已经具备了一定的数学基础，包括线段、比例等概念。他们在之前的学习中已经接触过比例的知识，对比例的性质有初步的了解。此外，九年级学生也具备了一定的自主学习和解决问题的能力，能够通过观察、实验、推理等方式探索新知识。然而，由于成比例线段的概念较为抽象，且在实际问题中的应用较为广泛，学生在理解和运用上可能会存在一定的困难。
教学目标 1.了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。 3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。 4.灵活运用比例线段的性质解决实际问题，体会数形转化的思想。
教学重点 1.掌握成比例线段的概念和判断方法。 2.了解黄金分割的概念及其在实际问题中的应用。
教学难点 1.理解比例的基本性质及推论。 2.灵活运用比例性质解决复杂问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入，复习回顾教师活动1： 回顾： 比例的基本性质： 如果= ,那么ad=bc． 如果ad=bc,那么=． 反比性质: 若=，则 =； 更比性质: 若=，则 = ； 合比性质: 若=，则 = .学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知，共探新知教师活动2： 做一做 如图,在方格纸上（设小方格边长为单位 1）有△ABC 和△A′B′C′,它们的顶点 都 在 格 点 上 . 试 求 出 线 段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度,并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与 A′C′的长度的比值. 教师讲授： AB==； BC=2； AC==；AB==2； BC=4； AC==. === 教师讲授： 一般地， 如果选用同一长度单位量得两条线段AB,A′B′的长度分别为m,n,那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比,记作=,或 AB∶A′B′=m∶n . 如果的比值为k,那么上述式子也可写成=或AB=k·A′B′． 教师讲授：在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 已知四条线段 a,b,c,d,若= ,则a,b,c,d是比例线段. 如果==,那么称线段 AB,BC,AC与线段A′B′,B′C′,A′C′对应成比例.学生活动2： 观察图片，运用已学知识进行计算 认真听讲，进行思考 发现AB与A′B′,BC与B′C′,AC与 A′C′的比值相等 认真听讲，知道什么是比 学生认真听讲 了解成比例线段的概念 学生认真听讲 活动意图说明：使学生经历计算的过程，让学生了解线段比和成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其简单应用。环节三：例题精析，再探新知教师活动3： 例3已知线段a,b,c,d成比例，的长度分别为0.8cm,2cm,1.2cm,3cm,问a,b,c,d是比例线段吗？ 解：∵==0.4, ==0.4． ∴ =，即a,b,c,d是比例线段. 再探新知 古希腊数学家、 天文学家欧多克索斯(约前400—约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段AB分成不相等的两部分， 使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比 即，使得=①成立？ 如果这能做到的话， 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点， 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 思考：你能求出黄金分割比的数值吗？ 设线段AB的长度为 1个单位， 点 C为线段 AB上一点， 且AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位． 根据①式， 列出方程：= 由于x≠0， 因此方程②两边同乘x， 得1x=x2， 即x2+x1=0. 解得x1=, x2=(舍去). 因此， =≈0.618. 教师讲授：事实上， 我们一定可以把一条线段黄金分割， 黄金分割比为 ， 它约等于0.618． 希腊的帕提侬神庙、 印度泰姬陵、 法国巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与底部宽度之比均约为黄金分割比. 在意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比．学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真听讲，了解什么是黄金分割比 学生认真思考 学生认真听讲 学生认真听讲，经历求黄金分割比的数值的过程 领悟黄金分割比之美活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 已知四条线段 a,b,c,d,若= ,则a,b,c,d是比例线段. 如果==,那么称线段 AB,BC,AC与线段A′B′,B′C′,A′C′对应成比例. 把一条线段黄金分割， 黄金分割比为 ， 它约等于0.618．学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长度是（ ） A． B． C． D． 2.点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC.若AC=4，则BC的长为（ ） A． B． C． D． 3.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是 ． 选做题： 4.若点是线段的黄金分割点，且，则等于（ ） A． B． C． D．或 5.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( ) A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm 6.一个比例为1：10000的矩形草坪示意图的长、宽分别为5cm，2cm，则此矩形草坪的实际面积为 m2． 【综合拓展类作业】 已知线段AB=10cm，点P，Q是线段AB的两个不同的黄金分割点，求线段PQ的长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.人以肚脐为界，下身与身高比例符合“黄金分割”比例，在人的视觉里看，是最完美的比例，身高为170 cm的人，满足“黄金分割”比例的腿长约为( ) A.100 cm B．104 cm C．105 cm D．112 cm 2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是( ) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB 3.如果点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，那么BD∶AB＝________，CD∶AC＝_______． 【综合拓展类作业】 已知a，b，c，d是成比例线段． (1)若b＝，c＝2，d＝9，求a； (2)若a＝4 cm，b＝(x－1)cm，c＝10 cm，d＝(x＋2)cm，求x.
教学反思 注重逻辑思维能力的培养：在解决成比例线段的问题时，鼓励学生多进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。这不仅可以帮助学生更好地掌握比例的性质和成比例线段的概念，还可以为他们后续的学习打下坚实的基础。 加强实际应用能力的训练：成比例线段在实际问题中有着广泛的应用，如地图的缩放、相似图形的计算等。通过设计与学生生活相关的实际问题，引导他们将成比例线段的知识运用到实际中，可以有效提高他们的实际应用能力。 注意巩固和反馈：由于成比例线段的概念较为抽象，且学生在理解和运用上可能存在困难，因此在教学过程中要加强巩固和反馈。通过大量的练习和及时地反馈，帮助学生巩固所学知识，发现并纠正他们的错误。
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