沪科版九年级数学上册试题 第22章 相似形 单元检测卷（含答案）

第22章《相似形》单元检测卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．27
2．如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（ ）

A．甲与乙 B．甲与丙 C．乙与丙 D．以上都不对
3．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　）
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判定是否相似
4．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
5．在平行四边形ABCD中，E是上一点，，连接相交于F，则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若，那么的长度是（ ）
A． B．4 C． D．2
8．如图，点D、E、F分别在的边上，且，，下列4个式子中，不正确的是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，已知在矩形中，，，作对角线，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点，交的延长线于点．则（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E为边上一动点，连接并延长至点F，使得，以，为邻边构造，连接交于点O．当的长最小时，的长为（ ）

A． B．1 C．2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是 ．
12．已知是线段上的黄金分割点若，若，则 ．
13．已知：如下图，，，，，则 ．
14．如图，，请你补充一个条件： ，使．
15．如图，已知，，，，要使，只要 ．
16．如图，E为的中点，，，，则的长为 ．

17．如图，在正方形中，为中点，、分别是、边上的点，若，，则的长为 ．

18．如图，在中，E、F分别是的中点，，动点P在射线上，交于D，的平分线交于Q，当时，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
20．（8分）如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交、于、.
（1）求证：；
（2）若，，求.
21．（10分）每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？
22．（10分）观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G，
（1）小明认为，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长．
23．（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
24．（12分）感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）．
探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD．
拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，则 DE 的长为 ．
答案
一、单选题
1．B
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．
解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，，，
解得：．
故选：B．
2．B
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
解：矩形甲长与宽比为，
矩形乙长与宽比为，
矩形丙长与宽比为，
∴所以甲和丙的长与宽的比相等，故这两个矩形相似，
故选：B．
3．A
【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断．
解：
．
故选：A．
4．A
【分析】三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.
解：若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
5．C
【分析】根据题目已知条件求证，再找到相似三角形的相似比即可表示出其面积比．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.
解：
以原点为位似中心，相似比为 把缩小, ,
则点的对应点的坐标为 或
即或,
故选:C.
7．B
【分析】设，根据折叠的性质用x表示出和，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
解：设，则由折叠的性质可知：，，
当时，有，
即：，
解得：；
故选：B．
8．B
【分析】证明，可判断选项A；由平行线分线段成比例，可判断选项B和C；证明，推导出四边形是平行四边形，可判断选项D．
解：∵，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
，故B错误，符合题意；
∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：B．
9．B
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由作图可知，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选∶ B．
10．B
【分析】利用证明，根据已知条件求出与的线段比例关系，从而得出的长最小时，的长最小，即可求出．根据和推出四边形的形状，进而证明，即可求出的长度．
解：过点A作交于M，

∵，
∴．
∵为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
∴，
∴，
∴的长最小时，的长最小，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴四边形为平行四边形．
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
解：∵两个相似三角形的周长比是，
∴这两个三角形的相似比为
∴这两个三角形的面积比是；
故答案为：．
12．
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
解：∵点M为线段的黄金分割点，且，，
∴，
故答案为：．
13．8
【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．（答案不唯一）
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
15．
【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.
解：∠ACB=,AC=4,BC=3,
,
要使,有,
,,
故答案为:
16．1
【分析】先求解，再证明，可得，再建立方程求解，从而可得答案．
解：∵，E为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1
17．5
【分析】首先证明，从而推出对应边成比例：，因为，可得，再根据进行化简可得，进而得到答案．
解：四边形是正方形，
，
，，
，
，
，．
，
，
又，
，
的长为5．
故答案为：5．

18．
【分析】延长，交的延长线于点M，由三角形的中位线定理可得，继而可证明，由等角对等边可得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
解：延长，交的延长线于点M，

∵的平分线交于Q，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ EQM∽ CQB，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
20．
解：（1）证明：平行四边形
∴，
∴，
∴
（2）：由（1）中证明得：
∵，代入后得
∴
21．
解：根据题意，易得，，
则，
则，即，
解得：AB=7m，
答：树高AB约是7m．
22．
（1）解：同意．理由如下：
根据折叠的性质可得．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∴，
∴，
即，．
∵，
∴，
即，
∴，
∴的周长为．
23．
解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE，
∴，
∴，
故答案为：；
应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②BC=12，点P为BC中点，
∴BP=PC=6，
·∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
解得：CD=3.6；
拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC=AB=10，
∴BP=BC -PC=12-10=2；
当AP=AD时，∠ADP=∠APD，
∵∠APD=∠B=∠C，
∴∠ADP=∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．
24．
解：感知：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=180°-∠B=90°=∠B，
∴△ABP∽△DCP，
故答案为：是；
探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=，
∵CE=9，
∴，
∴BD=8，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥AB且AC=AB，
∴，
∴AD=AB﹣BD=4，AE=AC﹣CE=3，
在Rt△ADE中，DE=．
故答案是：5．