2024-2025学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校数学试卷（8月份）（含答案）

2024—2025学年浙江省A9协作体高三（上）暑假返校
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.方程在的根的个数为( )
A. B. C. D.
7.一圆柱放置于底面直径和高都是的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.三次函数叙述正确的是( )
A. 函数可能只有一个极值点
B. 当时，函数的图象关于点中心对称
C. 当时，过点的切线可能有一条或者两条
D. 当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程如图，该曲线图象过点，则( )
A.
B. 曲线经过点
C. 当点在曲线上时，
D. 当点在曲线上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的离心率为 ．
13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ______．
14.嵊州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
证明：；
若，求边上中线的长．
16.本小题分
已知三棱锥，平面，，，，为的中点，为延长线上一点．
证明：；
当二面角余弦值大小为时，求的长．
17.本小题分
已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点．
求椭圆的方程；
当的面积是时，求．
18.本小题分
设函数，．
求的最大值；
若函数的极小值点为，证明：；
若恒成立，证明：．
19.本小题分
设为大于的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列．
若数列为，，，，，写出所有的数列；
如果数列公差为，，证明：；
记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：．
参考答案
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15.证明：因为，由正弦定理得：，
所以，
因为，由余弦定理可得，
代入可得：，
化简得，
即证得成立；
解：因为，所以，所以，，
在中，由余弦定理可得：，
故．
16.解：证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为面，
所以，又因为为的中点，，
所以，因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以；
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
设，
取平面的法向量，
设平面的法向量，
因为，
由，则，
令，解得，
所以，
由，
得，
解得或，
故B或．
17.解：因为椭圆的上顶点为，所以，
则椭圆方程为，
因为在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
由，得，
则，
到直线的距离，
则，
解得或．
18.解：令，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为；
证明：由知，在单调递增，
又，
由函数零点存在定理可得必然存在唯一的，使得，
且当时，，当时，，
所以函数的极小值点满足．
证明：由，得，
设，，
当时，必然存在使得，故不符合题意；
当时，在单调递减，单调递增，
则，即，
所以，
令，则，
所以上单调递增，上单调递减，
所以，
即．
19.解：由数列的定义知，的数列为：，，，；，，，．
对于项的数列一个数列：，，，，，，，
因为对于，均有，
所以，
所以不是所有项中的最大值或最小值，
所以，为的最大值或最小值的一个排列，
考虑中去掉后的数列：，，，，，，
同理若数列为数列的一个数列，
则有，为的最大值或最小值的一个排列，
以此类推，当时，
若为最大值，则为最小值，则，
所以，；
若为最大值，则为最小值，则，
所以，，
综上，．
由知，数列任意元子集必存在个数列，
因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，
所以，
因为，，
所以，，
所以．
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