2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在上的奇函数，当时，则( )
A. B. C. D.
3.设，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则满足的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知，为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
8.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是( )
A. B. C. D.
10.已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 在上有个零点
11.已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为______．
13.若函数是在上的减函数，则的取值范围是______．
14.定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数，有个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数
当时，求函数零点
函数有两个零点，求的取值范围；
函数在上有两个零点，求的取值范围；
16.本小题分
设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于，其前项和为已知，，，．
Ⅰ求和；
Ⅱ若，求正整数的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
证明：．
参考答案
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15.解：当时，，由，解得，
所以函数零点为．
由函数有两个零点，得方程有两个不等实根，
因此，解得或，
所以的取值范围是或．
由函数在上有两个零点，得，
解得，
所以的取值范围是．
16.解：Ⅰ设等比数列的公比为，
由，，可得，
，可得，
故，，
设等差数列的公差为，
由，得，
由，得，
，
故，；
Ⅱ由Ⅰ可得
，
由，
可得，
整理得：，解得舍或．
的值为．
17.解：，令可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
证明：因为，所以只需证明，
下面分别研究左、右两边，考虑证明左边的最小值大于右边的最大值．
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
由知．
又因为取等号时，取等号时，
所以等号不能同时取到，故，则原不等式得证．
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