2024-2025学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学调研
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，那么等于( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设，且，下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则线段的中点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
7.在中，，则( )
A. B. C. D.
8.已知则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为参考数据：，( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
10.一组学生站成一排若任意相邻的人中都至少有名男生，且任意相邻的人中都至多有名男生，则这组学生人数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ．
12.已知平面内四个不同的点满足．，若，则 ．
13.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体如下图，四边形为矩形，棱若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的体积为 ．
14.已知函数
当时，的值域为 ；
若关于的方程恰有个不同的实根，则的取值范围是 ．
15.已知数列满足，则
当时，存在，使得：
当时，为递增数列，且恒成立；
存在，使得中既有最大值，又有最小值；
对任意的，存在，当时，恒成立．
其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，其中请从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题．
条件：；
条件：最大值为；
条件：在区间上单调，且最大值为；
求函数的对称中心；
若方程在区间内有且仅有个实根，求的取值范围．
17.本小题分
在四棱锥中，分别为的中点，平面，．

若平面，求证：；
若，直线与平面所成的角为，求的长．
18.本小题分
某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩百分制，且均为整数及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩 科普过程性积分 人数
用频率估计概率．
从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于分的概率；
从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为分的概率；
从该校科普过程性积分不低于分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于的概率估计值记为，试判断和的大小结论不要求证明．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为上、下顶点分别为，且面积为．
求椭圆的方程；
点是椭圆上一点不与顶点重合，直线与轴交于点，直线、分别与直线交于点、，求证：与的面积相等．
20.本小题分
设函数，为曲线在处的切线．
求的方程；
求的极值；
若曲线除了切点之外都在直线的上方，求实数的取值范围．
21.本小题分
设，且都是奇数，行列的数表满足对任意的，都有记，若，则称第行为“正行”，若，则称第列为“负列”，记中正行与负列的数目之和为．
设，直接写出的值：
求证：；
求的最大值．
参考答案
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15.
16.依题意，，
若选，，解得或，
当时，，当时，，
因此选，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件不可选；
于是选条件，由知，，解得，，
由知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，
由，得，
所以函数的对称中心为．
由知，，由，得，
当时，，依题意，在内有且仅有个实根，
则，解得，
所以的取值范围是．

17.因为平面，又面，所以，
又，，面，
所以面，又面，
所以，
又平面，面，面面，所以，
故，又是的中点，
所以．
过作面于，连接，
则为直线与平面所成的角，所以，
又，所以，
设，由知，所以，
又平面，面，所以，又为中点，
所以，又，所以，
得到，又，所以，得到，
又，由，
得到，整理得到，
所以．


18.由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生，
科普过程性积分不低于分的人数的频率为，
所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于分的概率为；
随机抽取三人，得分为分的可能有：
情况：人分，人分；
情况：人分，人分，人分；
情况：人都是分，
结合图表知得分，分，分，分的概率分别为
，
所以随机抽取人得分的概率为
；
根据题意从样本中科普过程性积分不低于分的学生中抽取人，得分、分、分的频率依次为，
所以从全校科普过程性积分不低于分的学生中随机抽取名学生其积分，为分、分、分的概率估计依次为，
则任意取名同学，其积分之差的绝对值不超过的可能有：分，分；分，分；分，分；分，分；分，分五种可能，
即，
任意取名同学，其积分之差的绝对值不低于的可能有：分，分；分，分；分，分三种可能，
即，
显然．

19.由题意可得，注意到，，解得，故椭圆方程为；
由题意，
因为点不与椭圆顶点重合，所以直线斜率存在且不为，且不等于，
所以设，
联立，显然，
由韦达定理可知，从而，
所以，
在中令，得，所以，
易知，联立，所以，
注意到直线的斜率为，
所以，
联立，所以，
记点到的距离、点到的距离依次为，
则，
同理，
综上所述，与的面积相等，命题得证．

20.易知，所以，
又，
所以的方程为：；
即为．
由上知有，
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递减 单调递增
所以当时，函数有极小值，极小值为，无极大值；
若曲线除了切点之外都在直线的上方，
即，当且仅当时取得等号，
令，则，
令，则，
令有，
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递减 单调递增
所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值，
显然当时，，且时，无限趋向于零，
又，作出其大致图象如下：
若，则可由向下平移个单位得到，又，
此时在上单调递减，上单调递增，
所以，符合题意；
；
若，则可由向上平移个单位得到，
此时令，
不难得出时，，即此时单调递增，
时，，即此时单调递减，
即，所以恒成立，
则，
由于且时，无限趋向于零，所以当向上平移时，在之间必有一个零点，
而时，，所以之间也必有一个零点，
不妨设两个零点依次为，故在上，即单调递增，在上，即单调递减，
时，，即此时有，不符题意；
综上，所以实数的取值范围为．

21.数表，由题意可得，，
故只有第行是“正行”；
，故第列是“负列”，第列不是“负列”．
故；
数表，由题意可得，，
故只有第行是“正行”；
，故第列是“负列”，第列不是“负列”．
故．
综上所述，．
用反证法证明．
由数目之和，假设，
即数表没有“正行”，也没有“负列”．
即任意，，则数表中所有数和；
且任意，，则数表中所有数的和；
故数表中所有数的和为，
由题意任意的，，
即数表中的个数与的个数相同．
所以数表中必有偶数个数，
但由于均为奇数，数表中共有个数，为奇数，
这与数表中必有偶数个数矛盾．
故假设错误，不成立．
故成立．
当时，数表为行列数，
若，则各行都为，则这列数这和，不可能为“负列”；
由数表，．
故当时，最大为；
同理可知当时，最大为．
当时，．
下面用反证法证明．
假设，则满足条件的数表分三类：
，即行都是“正行”且列都是“负列”；
或，其中行都是“正行”，列是“负列”；
或，其中行是“正行”，列都是“负列”．
若，行都是“正行”且列都是“负列”：
即任意，，则数表中所有数和；
且任意，，则数表中所有数的和；
故产生矛盾，此类情况不可能；
若，行都是“正行”且列是“负列”：
由行都是“正行”，由题意可知，每行各数之和都为正数，
由题意任意的，，
则每行个数中的个数必大于的个数，即至少有个，
故数表中所有数中至少有个；
由列是“负列”，由题意可知这列中每列各数之和都为负数，
则每列个数中的个数必大于的个数，即至少有个，
故数表中所有数中至少有个，则至多有个；
又，
故产生矛盾，此类情况也不可能；
若，其中行是“正行”，列都是“负列”．
由列都是“负列”，由题意可知，每列各数之和都为负数，
由题意任意的，，
则每列个数中的个数必大于的个数，即至少有个，
故数表中所有数中至少有个；
由行是“正行”，由题意可知这行中每行各数之和都为正数，
则每行个数中的个数必大于的个数，即至少有个，
故数表中所有数中至少有个，则至多有个；
又，
故产生矛盾，此类情况也不可能；
综上所述，假设错误，
故．
如下图给出的数表：

如上图，各行除第行外，其余都是“正行”；各列除第列外，其余都是“负列”；
故正行与负列的数目之和为．
故当，且时，的最大值为．
综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为；当，且时，的最大值为．

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