2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期开学检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区怡海中学高三上学期开学检测
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则 ．
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
7.一个盒中有个球，其中红球个，黄球个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为( )
A. B. C. D.
8.若函数，其中，则的解集为 ．
A. B.
C. D.
9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
10.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设离散型随机变量服从两点分布，若，则 ．
12.已知的展开式各项系数之和为，则 ，展开式中含项的系数为 ．
13.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则 ．
14.已知函数，满足：恒成立，则 ，函数在区间内有 个零点．
15.已知函数，则下列命题正确的有
函数有且只有两个零点
函数在上为增函数
函数的最大值为
若方程有三个实根，则
三、解答题：本题共6小题，每小题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中， ．
求；
若，，求的面积．
17.设函数．
若曲线在点处与直线相切，求的值；
求函数的单调区间与极值点．
18.已知函数．
求的最小正周期；
从条件，条件，条件选择一个作为已知条件，求的取值范围．
在有恰有两个极值点；
在单调递减；
在恰好有两个零点．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.如图，在中，，，平分交于点，．
求的值；
求的面积．
20.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
单数
假设：一份保单的保费为万元；前次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元假设不同保单的索赔次数相互独立用频率估计概率．
估计一份保单索赔次数不少于的概率；
一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与中估计值的大小．结论不要求证明
21.已知函数．
当时，求曲线在点处切线的斜率；
当时，讨论的单调性；
若集合有且只有一个元素，求的值．
参考答案
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16.解：Ⅰ在中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
Ⅱ因为，，由余弦定理，
可得，
所以，，
所以．
17.，
曲线在点处与直线相切，
，
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
即函数的增区间为，，减区间为；
此时是的极大值点，是的极小值点．

18.因为
．
所以的最小正周期为．
因为，所以．
选择，因为在有恰有两个极值点．
所以．
所以．
若选择，因为当时，函数递增，
所以在不可能单调递减，所以不符合题意；
选择，因为在恰好有两个零点．
所以．
所以．

19.在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
由得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．

20.设为“随机抽取一单，赔偿不少于次”，
由题设中的统计数据可得．
设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故万元．
(ⅱ)由题设保费的变化为，
故万元，
从而．

21.当时，，
所以，得到，
所以曲线在点处切线的斜率为．
当时，，易知的定义域为，
又，
因为，所以，
所以时，，时，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
因为，所以，
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意，
当时，的定义域为，此时，
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以，
所以集合有且只有一个元素时．

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