初中数学人教版（2024）七年级下册 8.2 消元——解二元一次方程组 教案（表格式）

教案例
学科 数学 年级 七年级
示范性案例描述 人教版，七年级第二学期，第八章第2节《消元——解二元一次方程组》的第1课时.1. 内容分析本节内容是人教版，七年级第二学期，第八章第2节《消元——解二元一次方程组》的第1课时. 学生之前已经学习过整式的加减和一元一次方程及其相关知识，认识了二元一次方程组及其解的概念，已经具备探究的认知基础. 另外本节解二元一次方程组是后续解三元一次方程组、应用方程思想解决实际问题、求函数解析式、几何计算等知识的基础，因此本节内容在整个人教版教材体系中具有承前启后的重要作用. 2. 学情分析学生已经学习过整式加减、方程的基本概念和性质、一元一次方程的解法及其应用、二元一次方程组的定义及其解等内容. 学生已经具备一定的整式恒等变形能力、从具体问题情境中抽象出数量关系的能力、应用方程思想分析和解决简单实际问题等数学推理和逻辑思维能力. 另外，学生在前期学习过程中有过多次项目化学习的实践经历，具有一定的项目化学习经验和能力. 3. 教学目标（1）能够从具体问题情境中抽象出的数量关系，并合理确定项目任务，培养学生用数学的眼光观察现实世界；（2）能够制定合理的项目实施计划；（3）理解代入消元法解二元一次方程组的数学思想方法，能够利用代入消元法解二元一次方程组，培养学生用数学的思维思考现实世界；（4）能够利用代入消元法分析和解决简单实际问题，培养学生用数学的语言表达现实世界.4. 教学重、难点重点：代入消元法所蕴涵的数学思想方法；难点：项目的情境比较复杂，分析和制定合理的项目实施计划是本节的教学难点. 教学过程1. 呈现项目 制定计划环节1：呈现素材 提出问题 为了研究神农架的生态系统，研究组分别在南、北坡建立了一些研究样点（如图1[5]）. 素材1：据统计北坡某样点有草本植物和木本植物共100种，7月份，每种草本植物平均每天可以生产300㎏食物，每种木本植物平均每天可以生产50㎏食物. 且该样点每天总计可生产10t食物. 素材2：受气候影响，9月份该样点每种草本植物和木本植物平均每天生产的食物分别只有7月份的40%和75%. 学生活动1：请分析素材，独立思考，依据项目化学习经验尝试提出你的研究问题. 问题1：草本植物和木本植物各有多少种？问题2：7月份两种植物各自可生产多少食物？问题3：9月份两种植物共可生产多少食物？问题4：10月份两种植物共可生产多少食物？问题5：9月份两种植物减产的原因分析？问题6：素材中的数据是如何收集的？问题7：观测点是如何选取的？设计意图：自己提出研究问题可以满足个体的学习兴趣和需求. 每个学生都可以根据自己的兴趣选择研究问题，并在该问题上展开深入学习，提高学习动机和学习效果. 学生提出研究问题需要独立思考和评估信息的准确性、可靠性并进行批判性思考，对问题进行深入的分析和评估，培养了学生的批判性思维能力. 环节2：分析问题 确定任务学生活动2：请同学先独立思考，然后组内交流上述7个问题中，哪些问题是可以根据素材进行研究解决的？哪些问题是需要老师帮助解答的？生：问题1、2、3是可以根据素材研究解决的，问题4、5、6、7需要老师的解答或者提供更多的素材. 师：问题4，老师查阅了该研究的完整报告并未得到信息，还需要等待进一步的研究，该问题无法做出解答；问题6，素材中草本植物和木本植物的数量是研究人员通过详细的调查和统计取得的，两种植物的产能是研究人员通过一段时间的抽样研究和分析得出的；问题7，观测点的选择是根据地理条件和具体的研究需求确定的；问题5，涉及到生物、地理等科学知识，老师特地邀请了科学组的杨老师来为大家解答. 师：经过刚才的小组交流与老师帮助，同学们认为该选择哪个问题作为我们的研究任务？为什么这样选择？生：问题3作为研究任务，因为问题3的解决需要问题1、2的支持，具有一定的挑战性. 师：确定问题3作为我们的研究任务：9月份两种植物共可生产多少食物？设计意图：当学生从多个问题中选择研究任务时，可能涉及到不同学科的知识和技能. 学生需要在整合不同学科知识的框架下，综合运用相关知识，分析复杂的问题. 这有助于加强学生的跨学科学习能力和综合应用能力. 给学生提供从多个问题中选择的自由，可以激发他们的主动性和参与度，学生需要考虑问题的重要性、可行性、研究资源的可获得性等因素，进行权衡和决策，培养学生批判性思维，提升学生的决策能力和问题解决能力. 环节3：分析素材、制定计划学生活动3：请先独立阅读素材，并分析问题解决的路径；然后小组交流、分析，并形成问题解决的路径. 通过个人思考和小组交流，将研究任务分解为如下三个字任务！并关联每个任务的素材！其中任务1、2关联素材1，任务3关联素材2. 设计意图：学生设计任务计划在项目化教学中起着组织、规划、协作、问题解决等多方面的作用，帮助学生全面提高综合能力，并促进项目的有效实施. 通过共同参与任务计划的设计，可以培养团队协作精神和沟通能力，学生需提前预测可能遇到的问题和挑战，并相应地制定解决方案，同时任务计划为学生提供了一个明确的学习过程框架，有助于学生规范学习过程，提升学习效果. 2. 实施计划 知识建构环节4：同中求异 悟其中之能任务1：素材1：据统计北坡某样点有草本植物和木本植物共100种，7月份，每种草本植物平均每天可以生产300㎏食物，每种木本植物平均每天可以生产50㎏食物. 且该样点每天总计可生产10 t 食物. 两种植物的种类各有多少？学生活动4：请你应用方程思想尝试列出方程（组），并尝试求解；然后请同桌之间相互交流一下彼此的想法，如果你的同桌有困难，请你教教他，并告诉他你这样做的理由.经过学生自己的独立思考和小组交流，得出如下三种方法：方法1：解：设草本植物有种，木本植物有种，依题意可得：方法2：解：设草本植物有种，则木本植物种，依题意可得：方法3：解：设木本植物有种，则草本植物种，依题意可得：设计意图：“同中求异，悟其中之能”是一种思维方法，它强调通过比较和分析不同方法或观点之间的共同点和差异，找到它们各自的优势和特点，并从中获取启发和理解，这有助于学生形成对问题更全面的理解，培养全面思考问题的能力，培养学生批判性思维的能力.环节5：异中求同 悟其中之法根据上述任务1的分析和讨论，得到三个方程（组）： 学生活动5：请同学先独立思考1分钟，上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系 然后请学习小组内部交流1分钟，并达成一致意见.经过自己的独立思考和小组交流：发现1：方程组中的，可以变形为，将中的用代替就是一元一次方程（2）；同理用代替就是一元一次方程（3）.发现2：方程（2）解得，代入，可得方程组的解为. 同理方程（3）解得，代入，也可得方程组的解.发现3：二元一次方程组可以转化为一元一次方程.追问：如何实现转化？数学思想方法总结：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，用到了数学转化思想.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.设计意图："异中求同，悟其中之法"是一种思维方法，是在分析和比较事物或观点的异同之后，寻找它们之间的共同点和相似之处，并从中获得智慧和洞见. 通过比较和分析可以发现它们之间的共同点和共通之处，有助于学生建立起对某一领域或问题的更全面和准确的认知，并找到共性和普适性的原则或规律，这个过程需要运用系统思维和抽象思维的能力，可以帮助学生看到更高层次的共性和共同原理，从而加深对事物本质的理解.环节6：变中求联 悟其中之道练习1：把下列方程改写成用含的式子表示的形式： （1） （2）变式1：把上面方程改写成用含的式子表示的形式：变式2：上述方程改写成用一个未知数表示另一个未知数的形式？你怎么选择？为什么？例题：用代入法解方程组：学生活动6：请自己尝试独立完成，然后思考是否有其它代入的方法，并与你小组的同学交流你的方法. 经过小组交流，教师先请一位学生分析解题思路，并形成线路图式的思路解析，然后教师规范板书，形成范式. 以如图2线路图呈现思路解析：追问1：是否还是其它代入方法？方法1：将方程①变形为：代入方程②；方法2：将方程②变形为：，然后将方程①整体代入. 追问2：上述三种代入方法之间有什么区别与联系？你会选择哪一种方法，为什么？生：三种代入方法都是将方程①变形或直接代入，消去一个未知数，将将方程组化归为一元一次方程求解；区别在于变形时选择哪一个未知数表示另一个未知数或者是整体代入；此题选择哪一种代入方式都可以，但是方法2要求方程②的结构比较良好，一般情况下会选择比较简单的表示去代入. 练习2： 用代入法解方程组：（1） （2）学生活动7：请同桌相互检查，自主订正；如订正有困难，请同桌帮助解答.设计意图："变中求联，悟其中之道"是一种教学方法，在教学过程中，通过引入变化和差异的元素，寻找不同方法之间的联系和关联，并从中理解和掌握知识的本质和原理. 有助于培养学生的创新思维和问题解决能力，激发他们提出新颖观点和寻找创新解决方案的能力，并在这个过程中悟其中之道，有助于学生进行深度学习，并将知识和技能迁移到新的问题中，实现知识的灵活应用和融会贯通.3. 任务梳理 完成项目学生活动8：结合前面的学习，请先自己梳理任务，并尝试完成任务3，然后组内交流，并帮助和指导有困难的同学完成任务. 素材1：据统计北坡某样点有草本植物和木本植物共100种，7月份，每种草本植物平均每天可以生产300㎏食物，每种木本植物平均每天可以生产50㎏食物. 且该样点每天总计可生产10 t 食物. 任务1：两种植物的种类各有多少？ 根据前面分析，任务1得到：草本植物 20种；木本植物 80种.任务2：7月两种植物各自的产能？ 草本植物：（㎏）； 木本植物：（㎏）；任务3：素材2：受气候影响，9月份该样点每种草本植物和木本植物平均每天生产的食物分别只有7月份的40%和75%. 求9月每天能生产多少食物？每天生产食物：（㎏）.设计意图：任务梳理是学生重新检查整个项目具体的任务和实施过程，并确定每个子任务的目标是否达成. 这有助于学生进一步明确项目的整体目标和方向，理解它们需要达到的具体成果，培养学生良好的计划和组织实施能力，提高学生的自主学习和自我管理能力，这种实践性的项目化问题的解决，能够培养学生分析、创新和解决问题的能力，提高学生的综合应用能力. 4. 应用实践 内化认知在前面任务的基础上，又有一个素材：素材3：9月份该样点饲养了A、B两种小型植食动物用于科学研究，且A与B两种动物的数量之比为2∶5，每只A种动物平均每天进食400g，每只B种动物平均每天进食200g. 学生活动9：请你根据该素材独立思考后提出研究问题. 然后小组合作交流，确定任务，并制定任务计划. 生：我们组的任务确定为：该样点9月份A、B两种动物各最多饲养多少只？具体计划是任务1：饲养两种动物的数量跟哪些因素有关？任务2：9月份最多可以饲养两种动物各多少只？追问：你们认为两个任务该如何解决？生：我们最近科学在学习生态系统和食物链这部分内容，我们组认为任务1应该与生态平衡有关，所以想请科学老师帮我们再讲解一下生态平衡的相关知识. 任务2：可以根据任务1的分析应用刚学的解二元一次方程组的方法解决. 师：通过科学老师的助力，明确了任务1与生态平衡有关，并得到了生物学方面的支持.下面请同学们开展小组活动完成任务2. 学生活动10：请同学独立分析问题并尝试解决问题；然后请组内互相交流和同伴互助并对组内的不同方法进行交流.经过自己的独立思考和小组交流：学生分析问题中包含两个条件: ①A种数量∶B种数量=2∶5；②A种动物进食＋B种动物进食＝总生产量.方法1：解：设饲养A种动物x只、B种动物y只. 由题意可得方程组：. 解得：方法2：解：设饲养A种动物2x只、则B种动物为5x只. 由题意可得方程： . 解得.师生就利用代入法求解二元一次方程组进行思想方法总结：思想：二元→转化→一元； 方法：变形表示→代入消元→求解方程.师生总结项目化问题研究的一般步骤并形成如图3的流程图： 设计意图：应用实践在项目化教学中具有培养实际应用能力、知识内化和深度理解、跨学科能力提升、创新和问题解决能力培养、学习动机和参与度增强，以及团队合作能力提升等作用. 它使学习更加贴近实际，促进学生的综合发展和能力提升,发展学生的数学学科核心素养. 以流程图形式总结和呈现项目化研究的一般步骤，具有可视化和比较分析、促进批判性思维提升、强化学习和记忆，以及提供交流和展示的作用，有助于学生更好地理解和应用所学知识，展现他们的学习成果，并加深对主题的认知.
反思性分析 请从以下几个维度对案例进行反思。
维度与标准 分析与反思
单元主题分析 学生之前已经学习过整式的加减和一元一次方程及其相关知识，认识了二元一次方程组及其解的概念，已经具备探究的认知基础. 另外本节解二元一次方程组是后续解三元一次方程组、应用方程思想解决实际问题、求函数解析式、几何计算等知识的基础，因此本节内容在整个人教版教材体系中具有承前启后的重要作用. 根据左侧给出的标准，以下是对“教学示范性案例反思”中各个维度的反思性分析：优势：本节内容在整个人教版教材体系中具有承前启后的重要作用，学生已经具备了探究的认知基础，为后续学习打下了坚实的基础。改进：需要进一步强化学生对二元一次方程组解法的实际应用能力，以及如何将数学知识与实际问题相结合的能力。
学情分析 学生已经学习过整式加减、方程的基本概念和性质、一元一次方程的解法及其应用、二元一次方程组的定义及其解等内容. 学生已经具备一定的整式恒等变形能力、从具体问题情境中抽象出数量关系的能力、应用方程思想分析和解决简单实际问题等数学推理和逻辑思维能力. 另外，学生在前期学习过程中有过多次项目化学习的实践经历，具有一定的项目化学习经验和能力. 优势：合理分析了学生已有的生活、知识、活动、方法等经验，采用经验和数据相结合的方式，全面描述了学情。改进：可以进一步细化学情分析，针对不同学生的学习需求和能力差异，提供更加个性化的教学支持。
单元学习目标分析 （1）能够从具体问题情境中抽象出的数量关系，并合理确定项目任务，培养学生用数学的眼光观察现实世界；（2）能够制定合理的项目实施计划；（3）理解代入消元法解二元一次方程组的数学思想方法，能够利用代入消元法解二元一次方程组，培养学生用数学的思维思考现实世界；（4）能够利用代入消元法分析和解决简单实际问题，培养学生用数学的语言表达现实世界. 优势：基于课程标准和学情确定了具体可测量的学习目标，体现了素养导向，整体涵盖了学科核心素养。改进：目标的设定应更加注重学生能力与素养的发展，确保目标的实现能够促进学生全面素质的提升。师在类似教学情境中的参考。
单元学习任务/活动分析 项目化视角下的初中数学教学可以有效提升学生的数学学习兴趣和动机，培养学生的批判性思维、创新能力和合作意识，促进学生数学核心素养的全面发展. 本文以“消元——解二元一次方程组”第1课时为例，教学中将项目化视角引入课堂，在实际问题情境中确定项目任务，在项目的实施中自主建构知识，在项目反思内化中提升认知，通过这三个主要环节发展学生数学核心素养的同时培养学生的跨学科整合和批判性思维能力. 优势：情境设计贴近学生生活，活动任务与学习目标紧密关联，为学生提供了丰富的活动与体验，体现了挑战性。改进：活动任务设计应更加具体可操作，确保每个学生都能在活动中得到充分的参与和体验。
单元学习评价设计 单元学习评价设计：在“消元——解二元一次方程组”第1课时的单元学习评价设计中，既有过程性评价设计，也有终结性评价设计，体现了教学评一致性。过程性评价关注学生在学习过程中的表现，如学生在项目化学习中的参与度、合作交流能力、批判性思维能力等。终结性评价则关注学生在单元学习结束时的成果，如学生是否能够熟练运用代入消元法解决实际问题，是否能够用数学语言准确表达问题的解决过程等。评价设计应全面考虑学生的学习过程和学习成果，以促进学生数学核心素养的全面发展。 优势：既有过程性评价设计，也有终结性评价设计，体现了教学评一致性。改进：学习效果评价应更加体现学生水平和内容难度的差异，鼓励实践型、开放性作业，以促进学生的创新思维和问题解决能力。
课时教学设计 1. 呈现项目 制定计划环节1：呈现素材 提出问题 环节2：分析问题 确定任务环节3：分析素材、制定计划2. 实施计划 知识建构环节4：同中求异 悟其中之能环节5：异中求同 悟其中之法环节6：变中求联 悟其中之道 优势：课时目标与单元目标匹配，目标清晰具体，教学过程围绕教学目标展开，体现了“自主、合作、探究”的学习方式。改进：在技术整合、探究建构、互动交流等方面可以进一步创新，以提高教学效果和学生的学习兴趣。
示范指导作用提炼 该案例在教学设计上具有示范性，特别是在如何将数学知识与实际问题相结合、如何设计贴近学生生活的学习任务等方面提供了有效的经验做法。在解决学生学习问题方面，案例展示了如何通过项目化学习和小组合作来提高学生的批判性思维能力和问题解决能力，这些做法可以作为其他教
图1
9月每天能
生产多少食物
7月两种植物各自的产能
两种植物的
种类有多少
任务3
任务2
任务1
②
①
图2
图3