初中数学人教版九年级下册 26.1.1 反比例函数 教案（表格式）

教案
学科 数学 年级 九年级
示范性案例描述 反比例函数数学活动2 探究杠杆原理中的数学模型一．教学内容分析“函数”是初中阶段数与代数领域的三大主题之一，包含正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数.本节课是人民教育出版社九年级下册第二十六章反比例函数第19页数学活动（活动2)，通过实验探究“杠杆原理”中的数学模型，是学生已具备“杠杆原理” 、“反比例函数”和“函数”的相关知识之后的一节数学活动课，目的在于让学生经历实验、观察、猜想、验证、应用等实践过程，发现杠杆原理的四个量中，确定两个不变量，研究一个量随另一个量的变化而变化，从数和形的角度进行探究，发现公式中蕴含的函数关系，运用函数的知识解析物理的问题，实现跨学科整合.同时，让学生在实践过程中构建函数模型，从函数的角度重新认识物理的问题，加深杠杆原理和函数的理解，进一步认识函数是描述现实世界中具有变化规律的数学模型，获得数学活动经验，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，培养学生发现数学问题的意识、应用意识和创新意识，从而学会用数学眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达现实世界.二．学情分析（1）具备的知识和能力：学生已经学习了数学中的“变量之间的关系”、“一次函数”、“二次函数”、“反比例函数”等内容，对函数概念、图象与性质有了初步的认识，并积累了一些研究函数的方法和运用函数观念处理问题的经验.同时学生已具备一定的物理知识和实验操作方法，对于刻画反比例关系和正比例关系的物理量的理解有了一定的基础，为用函数的知识解释物理问题打下了基础.（2）可能存在的问题：①数学活动课的顺利实施是建立在学生能完成实验的基础之上的，然而学生的动手能力参差不齐，导致他们在获取实验数据时，处理数据，会有一定的困难；②之前学过的函数大多是正比关系，猜想出反比关系的解析式存在一定难度；③学生难分辨杠杆原理中蕴含的两类函数模型.三．学习目标（1）能根据杠杆原理实验数据，画出函数图象，再抓住自变量与因变量的关系特征抽象出反比例函数模型，并确定解析式，用数学知识解析物理公式中蕴含的函数关系；（2）经历“物理问题-构建反比例函数模型-解决问题"的过程，让学生用数学的思维思考去观察，分析问题，解决物理学中的问题，培养学生的探究能力，创新意识，发展数学抽象、数学建模等素养；四．学习重点、难点重点：从物理情境中抽象出反比例函数模型，用数学知识解析物理公式中蕴含的函数关系.难点：控制变量法，用自变量和因变量间的关系特征构建函数模型.五．学习活动设计环节一：温故填一填：反比例函数的一般形式： ；反比例函数的图象： ；3、反比例函数的图象与性质：（1）当k>0时，双曲线位于 象限，在每个象限内，y随x的 ；（2）当k<0时，双曲线位于 象限，在每个象限内，y随x的 ；4、杠杆原理： . （用式子表示）【设计意图】复习旧知，为后续学习作铺垫环节二：引新看一看： 观看视频《阿基米德杠杆撬动地球的故事》做一做：分小组体验跷跷板游戏让班中一孩子坐在跷跷板的左侧，固定其到支点的位置，让班中其他孩子坐在跷跷板右侧，使得左侧跷跷板翘起至平衡状态； 观察：右侧孩子离支点的位置，你发现了什么？ 结论：右侧孩子越重，离支点越近；右侧孩子越轻，离支点越远.引言：阿基米德为什么能撬动地球？跷跷板如何实现平衡？这是生活中的物理知识，那么，其中又蕴含了哪些数学知识呢？【设计意图】从视觉与游戏感知杠杆原理，激发学生的学习兴趣，让学生感受生活中的数学和物理知识.环节三：探究杠杆平衡条件一、动手操作1、实验器材：杠杆、电子测力计、铁架台、细线等.2、实验操作：（1）将杠杆悬挂在铁架台上，调节杠杆两端平衡螺母，使杠杆处于水平位置平衡；（2）在中点O的左侧距离中点25cm处挂一个重10g的砝码，在中点O的右侧用电子测力计向下拉，使杠杆处于水平状态. 改变电子测力计与中点O的距离L（单位：cm），看电子测力计的示数F（单位：N）有什么变化.3、实验数据的收集：填写下表：L/cm510152025303540F/N 4、实验数据处理：根据上表，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系.在坐标系中描出以上表中地数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点.5、实验数据分析：观察图象，完成以下问题①F与L的关系式：_______是_____函数.②曲线是否是该函数图象的一支吗？为什么？③F与L是怎样变化的？④点（50,4.9）在这条曲线上吗？【设计意图】通过小组合作实验，让学生在动手操作中感受知识生成的过程，积累基本的活动经验；体会数学与物理学科间的联系，培养学生的数学建模能力融合信息技术，用几何画板绘制函数图象，直观、形象地展示图象，引导学生应用已学过的函数知识分析数据和图象，渗透数形结合地数学思想，培养学生用数学思维思考及分析数据的能力.二、议一议：对于式子F1 L 1=F2 L 2（1）若动力F1与动力臂 L 1一定，阻力F2与阻力臂 L 2有怎样的函数关系？（2）确定不变量F2 ，L 1，则F1 ，L 2有怎样的函数关系？ （3）确定不变量F2 ，L 1，若动力F1扩大为原来的3倍 ，阻力臂 L 2如何变化？【设计意图】探究杠杆问题中的蕴含的反比例函数、正比例函数，让学生感受一个量随另一个量变化的关系，感受函数在杠杆问题中的应用三、试一试杠杆左侧挂的砝码质量不变，仍为10g，改变杠杆的支点，让其不在中点，杠杆的平衡条件是否还成立？其所蕴含的数学问题是否发生变化？请同学们设计实验，并动手操作进行验证.（提供电子测力计）【设计意图】让学生类比上面的探究过程，设计实验：改变实验的条件，探究物理现象中的数学问题，体验物理与数学间的联系，培养学生的发散性思维、创新意识、建模的核心素养及科学理念.环节四：巩固新知例1：重1N的物品挂在匀质木杆的中点O的左侧，距离中点O10cm处，若要使右侧物体的重量不超过左侧物体重量的2倍，则右侧物体至少要挂在中点右侧的什么位置？例2：密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积为V（单位：m3）变化时，气体的密度p（单位：kg/ m3）随之变化. 下表是实验的测量数据：V123456p9.94.953.32.4751.981.65（1）请根据表格的数据完成画出图象，并求出密度p关于体积V的函数解析式； （2）当V= 9m3时，求二氧化碳的密度p.【设计意图】用函数的知识解决物理的问题，让学生在结题过程中经历数学建模的过程，明确建模的步骤和方法环节五：拓展延申我国高铁技术全球领先，乘高铁极大节省了出行时间.已知钦州到南宁铁路里程约为128公里.钦州到南宁动车速度约为250 km/h（约70m/s）.若动车在进站和出站过程中，加速度大小为0.5 m/s2，其余行驶时间内保持250 km/h（约70m/s）速度匀速运动.根据物理学知识，在匀速直线运动中，动车运动的路程为：s=vt其中s为动车运动的路程，v是动车的平均速度，t是动车运动的时间；在匀变速直线运动过程中动车的瞬时速度为：，其中v0为动车的初始速度，a为动车的加速度，t为动车加速的时间；在匀变速直线运动过程中动车走过的路程为：，其中v0为动车的初始速度，a为动车的加速度，t为动车加速的时间.请你根据以上信息，完成下列问题.（1）如果把动车从钦州到南宁的过程看作匀速直线运动的过程，动车运行的速度v与时间t的函数解析式是_______ ，这是_____函数.（2）动车从静止到达到最大速度的加速过程中，动车运行的瞬时速度v与时间t的函数解析式是______，这是_____函数，如果动车的初始速度，动车运行的瞬时速度v与时间t的函数解析式是______，这是_____函数.（3）动车在加速过程中，行驶的路程s与时间t的函数解析式是________，这是________函数.【设计意图】通过阅读材料，把物理融入生活情景，用数学知识解析物理中蕴含函数关系的其他公式，从函数角度看物理问题，对函数内容进行大概念下的整体梳理,帮助学生构建学科间的联系，培养学生的阅读能力、科学思维、探究精神.环节六：小结提升本节课你有什么收获？（从知识、思想、活动过程进行反思）【设计意图】总结归纳，构建框架及形成研究方法路径图，落实“四基”、“四能”环节七：阅读延申阿基米德说：“给我一个支点，我可以撬动地球！”为什么？ 2、战国时代的墨子最早提出杠杆原理，在《墨子 · 经下》中说“衡而必正，说在得”；“衡，加重于其一旁，必捶，权重不相若也，相衡，则本短标长，两加焉，重相若，则标必下，标得权也”.这两条对杠杆的平衡说得很全面.里面有等臂的，有不等臂的；有改变两端重量使它偏动的，也有改变两臂长度使它偏动的. 你感受到了吗？ 【设计意图】用引入问题引发学生思考，首尾呼应，通过阅读材料丰富学生知识，激发学生学习科学的兴趣、民族自豪感。六.作业设计1、（必做题）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.（1）请分别用物理知识、数学知识解释他们这样做的道理 （2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，①用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗 为什么 ②当木板面积为0.2m2时，压强是多少 2、（选做题）请找出现实生活中与反比例函数相关的物理问题，并尝试使用数学方法解决.七．学习评价 评价内容评价要点评价方式评价主体及形式课前准备1.做好知识储备,主动在知识准备上加大投入(复习巩固与函数相关的数学知识以及物理中与之相关的内容，预习教材上反比例函数的内容，在网上搜索相关资料).2.在预习过程中，能用已学的物理知识制订实验方案，并模仿学过的数学方法尝试解决问题,有自己的见解.3.有良好的学习态度,对学习总能保持积极性,对新知有一种期待的态度.课堂观察活动报告口头测验作业检测√学生自评√学生互评√教师评价课堂学习1.能够从物理实验中得出数据.2.能够从实验数据中找出规律，抽象出反比例函数的数学模型.3.能够绘制反比例函数的图象.4.能够从函数图象中总结出反比例函数的性质，能够判断一个图像是否是反比例图象.5.思维缜密有条理，能条理清楚地表达自己的意见，解决问题的过程清楚明白.6.上课认真听讲，积极举手发言.7.具有创造性思维，能用不同的方法解决问题.8.善于与人合作，虚心听取别人的意见，将接受式学习与探究、合作学习有机整合.课后复习1.作业认真、规范、严谨.2.及时进行知识脉络的梳理,形成完整的知识结构体系.3.阅读相关的文献和资料,丰富自己多领域的文化修养.4.尝试从实际情境中抽象出数学知识,并应用数学知识解决实际问题.八．单元作业1、（基础性作业：5分钟）电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，（1）用含有R的代数式表示I：______________（2）利用写出的关系式完成下列表格： R/Ω2030405060I/A当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的________函数.（4）根据上述表格，画出函数图象.（5）当R=22Ω时，I=_______2、（发展性作业：10分钟）电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，（1）当电压为定值时，I关于R的函数图象是（） （2）如果一个用电器的电阻为 5 Ω，其允许通过的最大电流为 1 A，那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明. 3、（实践性作业：30分钟）现有实验器材：学生电源12v（电压不可调）1台、0~150Ω滑动变阻器1个、学生电流表1个，开关1个，导线若干，请你根据已有器材制订实验方案，探究电压一定的情况下，电流和电阻的关系.
反思性分析 请从以下几个维度对案例进行反思。
维度与标准 分析与反思
单元主题分析 -单元名称/主题体现意义和价值的引领性，主题分析能概述主题的核心概念、内容结构及育人价值 围绕本单元的教学内容进行横、纵向的知识结构分析，指向明确，分析恰当
学情分析 -合理分析学生已有生活、知识、活动、方法等经验，采用经验和数据相结合方式，着眼单元整体描述学情 从学生已有知识及进行本主题探究可能存在的知识、能力困难进行了分析，对本课学习的可行性进行了准确的预估
单元学习目标分析 -基于课程标准、分析教材、结合学情确定，体现素养导向-整体涵盖学科核心素养，体现单元是落实学科核心素养的学习单位-目标具体可测量，关联核心素养或学业质量水平 依靠课标，立足教材，根据学情，从单元整体教学的角度指定了单元学习目标及素养目标，利用过程性评价标准对学习过程进行量化跟踪
单元学习任务/活动分析 -情境设计贴近学生生活，活动任务与学习目标紧密关联，为目标达成创造条件，强调学生的活动与体验，体现挑战性，着眼于学生能力与素养发展-活动任务设计具体可操作。呈现任务/活动名称，概述任务/活动的内容、过程、环境等-活动设计符合学习规律，指向重难点，有时间和空间保证；资源、媒体设计启发性强，适时、适量 从学生熟悉的翘翘板游戏引入新课，在物理实验中重现杠杆原理，让学生在探究过程中抽取数学模型，用控制变量法让学生感受物理公式中的函数关系式，实现单元整体教学，跨学科教学，让学生在探究、合作中发展数学建模、抽象、逻辑推理等核心素养；由浅入深设计活动，任务明确，利于知识生成及知识框架的建构
单元学习评价设计 -既有过程性评价设计，也有终结性评价设计，体现教学评一致性-学习效果评价体现学生水平、内容难度差异-根据学情、学习重点筛选编制单元作业，鼓励实践型、开放性作业 评价方式多样华，有过程性评价，素养评价等，有生评，师评，小组评等，能体现教学评一体化但评价方式不够细致，量化标准不够明确
课时教学设计 -课时目标与单元目标匹配；目标清晰具体、可测；目标描述以学生为行为主体-教学过程围绕教学目标展开；环节流畅，过渡自然，重点突出；学生主体地位突出，体现“自主、合作、探究”的学习方式；教师指导方式多样、有效-活动设计符合学习规律，指向重难点，有时间和空间保证；资源、媒体设计启发性强，适时、适量-在技术整合、探究建构、互动交流、讲授启发、总结提升、技能训练、实验操作、评价反馈或其它要素中有1-2项特色 课时目标与单元目标一致，目标明确、课操作；教学设计合理，重点突出，教学环节齐全、层次分明，过程流畅，以学生为主体进行教学，课堂气氛融洽；但教学内容相对较多，对学生有一定困难。
示范指导作用提炼 本节课以数学整体观为指导，以物理学内容为背景，为学生搭建研究一个数学对象（问题）的整体框架，用函数为主题，融合物理、信息技术，进行跨学科单元整体教学.深度理解教材的内在逻辑反比例函数是初中函数主题教学的最后一种函数，本节课作为反比例函数章末数学活动，是对反比例函数学习的延申，也是对初中函数知识的整体应用，旨在用函数主题作引领，以数学整体观为指导，以物理学内容为背景，为学生搭建研究一个数学对象（问题）的整体框架，让学生在“实验操作”活动中，用数学的知识完成实验数据的分析、描述，构建反比例函数模型，用控制变量法，引导学生发现物理公式中蕴含的函数模型，用函数知识解释物理问题，实现跨学科单元整体教学.突出数学活动课教学的基本模式数学活动课是知识拓展和发展学生综合能力的平台。本节课以数学活动为主要方式，用数学活动课的基本模式，让学生经历“问题情景（跷跷板）---实践活动（物理实验）---合作交流（构建函数模型）----尝试应用（用数学知识解释物理问题）---小结提升（构建知识、研究路径图）”的过程，以数学知识发生发展过程的内在逻辑为基础开展教与学，让学生系统掌握学科基础知识、基本技能、基本方法，而且能培养学生的学习能力。核心素养导航让品质落地让学生设计物理实验，动手操作并记录数据，培养学生物理观念、科学思维、实验探究的物理核心素养，再用数学的方法找出数据之间的关联，提炼出数据之间的数据表达式，构建函数模型，培养数学建模、数学抽象、逻辑推理的数学素养；在落实素养的同时，夯实知识基础，发展学生能力。尊重学为上的主体地位以学生的学为主体，以“情景导学—互动研学—应用践学—反思悟学”为主线，让学生动手做，动脑想，动口说，让学生在活动中自主设计和尝试，积累经验，培养学生的创新精神和实践能力。