2024-2025学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的后，得到函数的图象则( )
A. B. C. D.
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准该指标是通过体重除以身高的平方计算得来这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度一般情况下，我国成年人的身体质量指数在内属正常范围已知，，三人的体质指数的平均值为，方差为，两人的体质指数分别为和则这人的体质指数的方差为( )
A. B. C. D.
6.已知，为抛物线上的动点，为中点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为时，满足条件的不同排列方法的总数之和为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对，恒成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且公差，则以下结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，，成等比数列，则
10.已知，函数，则以下结论正确的是( )
A. 为偶函数
B. 的图象关于点对称
C. 当时，在其定义域上单调递增
D. 当时，方程无实根
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右支上一点异于点，的内切圆圆心为则以下结论正确的是( )
A. 直线与的斜率之积为
B. 若，则
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则点坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为______．
13.若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数 ______．
14.如图，在四面体中，，，则该四面体的外接球体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设中的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的周长为，求的面积．
16.本小题分
中国数学奥林匹克竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛．
根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过分的学生可进入决赛若共有名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数结果取整数；
决赛试题共设置了个题目，其中单选题题，每题分，每题有个正确选项，答对的分，答错得分；多选题题，每题分，每题有多个正确选项，全部选对得分，部分选对得分，有选错得分假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得分、分、分的概率均分别为求甲同学决赛成绩的数学期望．
附：若，则，，
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，，，，．
证明：平面平面；
求该四棱台的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，其中，分别为直线和的斜率结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点．
求椭圆的方程；
求的角平分线所在的直线的方程；
过点的且斜率存在的直线，分别与椭圆交于点，均异于点，若点到直线，的距离相等，证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：因为，可得，
由正弦定理得，
又，
所以，
即，
因为，可得，
所以，即，
可得，即，
因为，所以，解得；
解：因为的周长为，可得，
由知，由余弦定理得 ，
可得，解得，
所以的面积为．
16.解：由于，故，，
故，
所以，
故进入决赛的人数为；
甲同学每个单选题得分的数学期望分，
甲同学每个多选题得分的数学期望分，
因此甲同学的成绩的数学期望为分．
17.解：由题意知，，
由，解得，
此时，，
令，得，令，得，故是函数的极值点，
故符合要求，
进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
由恒成立可得恒成立，
令，则，
令，则，
故当时，，单调递增，当时，，单调递减，
而，，且时，，
故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，
故，因此，
即的取值范围是．
18.解：证明：连接，为的中点，
因为，所以，又，
所以，又，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
因为底面为等腰梯形，，，
所以，
所以，
所以为直角三角形，为其斜边，
故AD，又，，平面，，
所以 平面，又 平面，
所以平面平面；
过作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，故D为四棱台的高，
由，又，，
所以，又，故，
所以，
所以，
连接，为的中点，
由，所以，，
又，所以梯形的面积为，
由棱台的性质可得梯形与梯形相似，又，
所以梯形的面积为，
所以棱台的体积，
过作，，
因为平面，所以平面，又，
如图以为原点，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，则，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，则，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：四边形的面积为，解得，
可得，即，又为椭圆上一点，
，得，解得，，
椭圆的方程为；
由，
，
设的角平分线所在的直线的斜率为，则，
根据到角公式可得，化简得，正值舍去，
此时直线的方程为，即；
证明：设直线，的斜率分别为，，
可得直线：，：，
若点到直线，的距离相等，则，化简得，
由椭圆方程与方程联立，
可得，
，可得，
，
，
同理可得，，
，
，
可得直线的方程为，
化简得，
，
由，解得，
可得直线过定点．

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