山东省烟台市部分校2025届高三上学期摸底联考数学试题（含答案）

山东省烟台市部分校2025届高三上学期摸底联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
3.安排名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，离心率为，若，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是( )
A. ， B. ， C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，令，则( )
A. 的一个对称中心是
B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
10.已知复数，，，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若满足，则
C. 若，且，则
D. 若满足，则在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
11.若函数，则( )
A. 的极大值点为
B. 有且仅有个零点
C. 点是的对称中心
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，点是边上一点，若，则 ．
13.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 ．
14.如图，为的边上一点，，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰已知甲、乙、丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为．
若三人中有两人过关，求丙过关的概率
记甲、乙、丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
证明：当时，．
17.本小题分
如图，矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，且点满足，且．
求直线与平面所成角的正切值
求几何体的体积．
18.本小题分
抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为，的直线，均过点，且分别与交于，和，其中，在第一象限，，分别为，的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点．
求直线的斜率用，表示
证明：的面积大于．
19.本小题分
定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列，，经过第一次“和扩充”后得到数列，，，，第二次“和扩充”后得到数列，，，，，，，，设数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
若已知数列，，，求，
求不等式的解集
是否存在不全为的数列，，，使得数列为等差数列请说明理由．
参考答案
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15.解：记甲、乙、丙三人过关分别为事件，，，
记三人中恰有两人过关为事件，
则
，
又
，
所以，
故若有两人过关，丙过关的概率为．
由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则 ，

，
，
，
所以的分布列为：
故E，
即的数学期望为．
16.解：，
，，
当时，恒成立，
此时函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可得，当时，
，
由，得，即恒成立，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
即当时，恒成立，
故当，．
17.解：取中点，中点，连接、，
由题易得，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又为中点，在矩形中，四边形为正方形，
，
，，两两垂直，且．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，平面的一个法向量为．
，，．
设直线与平面所成角为，
，
．
直线与平面所成角的正切值为．
，
，
，
，
所求几何体的体积为．
18.解：设，，，
联立得，
故，，
故AB中点的坐标为，
同理可得，
故．
设直线，的倾斜角分别为，，
则有，，，，
的倾斜角为，斜率为，
故F，
当时，，故，
，即，
当时，，
所以，
，
当且仅当，即时取等号．
记点到的距离为，的面积，
要证，即证．
当时，由于，故，故，
故此时
当时，，
又，故此时
综上所述，的面积大于．
19.解：第一次“和扩充”，，，，
第二次“和扩充”，，，，，，，，
故，．
数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，所以，
所以，
其中数列，，经过次“和扩充”后，得到，，，，，故，，
故是首项为，公比为的等比数列，
所以，故，
又，解得．
因为，
，，
依次类推，，
故
，
若使为等差数列，则．
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