2024-2025学年江苏省无锡市南菁高级中学、江南大学附中高三（上）自主学习数学试卷（含答案）

2024-2025学年无锡市南菁高级中学、江南大学附中高三（上）自主学习数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则( )
A. B. C. 或 D. 以上答案均不对
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.某学生进行投篮训练，采取积分制，有次投篮机会，投中一次得分，不中得分，若连续投中两次则额外加分，连续投中三次额外加分，以此类推，连续投中七次额外加分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得分的概率是( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，以下四个结论正确的是( )
A. 过点与圆相切的直线方程为
B. 圆上的点到直线的距离的最大值为
C. 过点可以做两条直线与圆相切
D. 圆与圆：相交
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
11.已知，则下列说法中正确的有( )
A. 的零点个数为 B. 的极值点个数为
C. 轴为曲线的切线 D. 若则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列的前项和为，已知，则 ______．
13.在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为______．
14.已知函数，则的零点为______，若，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求角；
若的面积为，且，求的周长．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求证：是等比数列；
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，求．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角
的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知为坐标原点，是椭圆：的右焦点，过且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点当为短轴顶点时，的周长为．
求的方程；
若线段的垂直平分线分别交轴、轴于点，，为线段的中点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求证：函数存在唯一的极大值点；
若恒成立，求的值．
参考答案
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15.解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，，
，，
．
，，
又，，，
所以，即负值舍去，
又，所以的周长为．
16.解：证明：因为，
，，
所以是首项为，公比为的等比数列．
，
当时，，
当时，，
所以；
因为，
所以，，
．
17.证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
解：假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，
，，，，
设面的一个法向量为，
取，，，
即，
因为在线段上不含端点，所以可设，，
所以，
设面的一个法向量为，，，
，取，，，
即，
，，
解得或，又，所以，
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．

18.解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的焦点为，可得，
又因为为短轴顶点时，的周长，
又由，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为．
解法一：因为椭圆的焦点为，设直线：，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
于是线段的垂直平分线的方程为，
令，可得，
由
，
令，则，
因为，所以，可得，
因此．
解法二：因为椭圆的焦点为，设直线：，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
则，
可得线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
由
．
令，则，
因为，可得，可得，
因此．

19.证明：已知，则，
设，则，
所以在上单调递减，
又因为，所以存在唯一满足，
当时，，即，即单调递增；
当时，，即，即为极大值，
当时，，即，即单调递减．
所以函数存在唯一的极大值点得证；
解：恒成立，即恒成立，
设，注意到，
求导有，
设，注意到，求导得，
时，与已知矛盾，舍；
时，，即在上单调递减，
时，又因为，，所以存在，令，
即时，，单调递减，
即，与已知矛盾，舍；
时，又因为，所以存在，令，
即时，，单调递增，
即，与已知矛盾，舍；
时，，
即时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，满足题意．
综上所述，．
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