人教版2024-2025学年三年级数学上册专题提升第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年三年级数学上册专题提升第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 765.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-18 20:40:34 | ||
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文档简介
人教版2024-2025学年三年级数学上册专题提升
第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第五单元倍数问题·拓展篇
专题内容 本专题以和差倍问题为主，其中包括和倍问题、差倍问题、和差问题等内容。
总体评价
讲解建议 本专题内容涉及多位数乘一位数的乘法和除数是一位数的除法计算，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十三个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】和倍问题其一：基础型 4
【考点二】和倍问题其二：进阶型 5
【考点三】和倍问题其三：和不变问题 6
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题 7
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题 8
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题 9
【考点七】差倍问题其一：基础型 10
【考点八】差倍问题其二：进阶型 12
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题 13
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题 14
【考点十一】和差问题其一：基础型 15
【考点十二】和差问题其二：进阶型 16
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题 17
【第三篇】典型例题篇
【考点一】和倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和倍问题的数量关系式。
（1）和÷（倍数+1）=小数；
（2）小数×倍数=大数或和-小数=大数。
2.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
一个抽奖箱中有红球和白球共60个，红球的数量是白球的5倍。该抽奖箱中有多少个白球？（先画图，再解答）
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥有多少钱？弟弟有多少钱？
【对应练习2】
新世纪学校有篮球和足球一共240个，已知篮球的个数是足球的3倍，求篮球和足球各有多少个？
【对应练习3】
把一根长120厘米的绳子剪成2根。第一根的长度是第二根的3倍。这两根绳子较短的一根长多少厘米？
【考点二】和倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.当和倍问题中出现非整倍的情况时，应先将非整倍转化成整数倍，再按和倍问题的解题思路求解即可，仍可通过画线段图帮助解题。
2.几倍多几，和就减几；几倍少几，和就加几。
【典型例题1】几倍多几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班的3倍多20本，那么现在两班各有多少图书？
【对应练习1】
饲养场里养了白兔和灰兔共32只，养的白兔的只数比灰兔的4倍多2只。白兔和灰兔分别养了多少只？
【对应练习2】
师、徒两人共加工85个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
【典型例题2】几倍少几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班4倍少2本，那么现在两班各有多少图书？
【对应练习1】
某班有学生76人，其中男生比女生的3倍少4人，男、女生各有多少人
【对应练习2】
一个停车场共停大、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大、小车各多少辆？
【考点三】和倍问题其三：和不变问题。
【方法点拨】
和倍问题中的和不变问题，两个量之间给来给去，总和不变，已知倍数的情况下，可以先求出变化后的各个量，再求变化前的。
【典型例题】
甲、乙两班共有图书15册，如果甲班送2册图书给乙班，那么甲班拥有图书的册数正好是乙班的2倍。甲、乙两班原来各有图书多少册？
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【对应练习2】
老师家里有上、下两层书架，一共100本书，有一次老师将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍，问：原来上、下两层书架上各有多少本书？
【对应练习3】
两箱茶叶共36千克，如果从甲箱取出2千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题。
【方法点拨】
和倍问题中和的变化问题，先求出变化后的和，再利用和倍问题公式解决问题。
【典型例题】
妈妈买来苹果和橙子共17个，如果再买4个橙子，橙子的个数就是苹果的2倍，那么妈妈买来苹果和橙子各多少个？
【对应练习1】
水果店运进苹果和梨共51筐，如果卖出6筐苹果，苹果的筐数就是梨的4倍，水果店运进的苹果和梨各多少筐？
【对应练习2】
超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，求超市原有红酒和白酒各多少瓶？
【对应练习3】
哥哥与弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题。
【方法点拨】
多个量之间的和倍问题，找准一倍数，再利用和倍问题的公式计算。
【典型例题1】问题一。
公园里一共有80棵树，杨树是柳树数量的2倍，松树是柳树的5倍，三种树各有多少棵？
【典型例题2】问题二。
甲乙丙三人共有135元钱，已知丙的钱是乙的钱3倍，乙的钱是甲的钱2倍，请问丙有多少元？
【对应练习1】
学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的4倍，排球的个数是足球的2倍。那么学校买来篮球、足球和排球各多少个？
【对应练习2】
甲、乙、丙三数的和是40，已知甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，乙数为多少？
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用和倍问题的方式解决年龄问题，关键在于找到年龄和。
【典型例题】
今年姐妹年龄和共12岁，3年后，姐姐的年龄是妹妹的2倍。那么姐妹今年各多少岁？
【对应练习1】
3年前，父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年的年龄和是61岁，问：父亲今年多少岁？
【对应练习2】
4年前，妈妈的年龄是儿子的6倍，母子今年的年龄和是57岁。那么儿子今年多少岁？
【对应练习3】
6年前，父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父子年龄和是78岁。问：父亲今年多少岁？
【考点七】差倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。
2.差倍问题的特点与和倍问题类似，解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
3.差倍问题的基本关系式。
差÷（倍数-1）=1倍数（较小数）；
1倍数×几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数。
4.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
三年级一班的故事书比二班的故事书多30本，一班的故事书是二班故事书的4倍，问：一班和二班各有多少本故事书？
【对应练习1】
水果市场运进一批水果，已知运进苹果比梨多120个，苹果是梨的4倍，问：运进苹果和梨各多少个？
【对应练习2】
花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？
【对应练习3】
一副羽毛球拍的价格是乒乓球拍的3倍，买一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，两种球拍的价格各是多少元？
【考点八】差倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.在差倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，将非整倍化为整倍。
2.几倍多几，差就减几；几倍少几，差就加几。
【典型例题1】问题一。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多25箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多1箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
【对应练习1】
明德小学买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，明德小学买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
【对应练习2】
动物园里有很多猴子和猩猩，已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只。请问：动物园里有多少只猩猩？
【典型例题2】问题二。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多30箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的5倍还少2箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
【对应练习1】
光明小学买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，光明小学有蓝、绿水彩笔各多少支？
【对应练习2】
米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的4倍少4个，且唐老鸭的土豆比米老鼠多20个。请问：唐老鸭挖了多少个土豆
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题。
【方法点拨】
有暗差的差倍问题，做题的一般步骤。
1.先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍；
2.接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差；
3.然后将现差或原差通过线段图的方法画出来；
4.画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系；
5.审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。
【典型例题】
有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根绳子的长度是第一根绳长的3倍，求这两根绳子原来长多少米？
【对应练习1】
两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍，求两筐苹果原来各有多少千克
【对应练习2】
两根一样长的电线，第一根用去176米，第二根用去26米后，所剩的电线中，第二根是第一根的4倍，问：两根电线原来各长多少米？
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用差倍问题的方式解决年龄问题，关键在于理解年龄差不变。
【典型例题1】问题一。
哥哥今年18岁，弟弟今年10岁，那么几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？
【典型例题2】问题二。
爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
【对应练习1】
儿子今年9岁，妈妈今年33岁，儿子几岁时，妈妈的年龄正好是儿子的3倍
【对应练习2】
爸爸今年36岁，思思今年8岁，爸爸的年龄是思思的3倍时，思思多少岁？
【对应练习3】
爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
【考点十一】和差问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和差问题。
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
2.和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
幸福小学四年级垃圾分类宣传志愿者共有25人，其中男生比女生多3人，男、女生各多少人？
【对应练习1】
雷老师买来一支钢笔和一支毛笔一共用了72元，毛笔的单价比钢笔少32元，一支钢笔和一支毛笔各多少元？
【对应练习2】
欢欢和晶晶一共有324张贴画，欢欢比晶晶多78张，欢欢和晶晶各有多少张贴画？
【对应练习3】
李奶奶家养的鸡和鹅共68只，养的鸡比鹅多10只。李奶奶家养的鸡和鹅各有多少只？
【考点十二】和差问题其二：进阶型。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
花房里有月季花和百合花一共72盆，卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多。花房里原来有百合花多少盆？月季花多少盆？
【对应练习1】
小张家养鸡和兔一共150只，卖掉52只鸡后，剩下的鸡和兔的只数同样多。他家养兔多少只？
【对应练习2】
食堂购进了一批大米和面粉，一共706千克，用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多。食堂原来有大米和面粉各多少千克？
【对应练习3】
某超市有大米和面粉一共128袋，卖掉20袋大米后，剩下的大米和面粉的袋数同样多，原来有多少袋大米，多少袋面粉？
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
小红的书比小明多9本，比小兰多2本，小明和小兰共47本书，小红，小明小兰各有多少本书？
【对应练习1】
甲、乙、丙三个班共有学生146人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有多少人？
【对应练习2】
三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组多20人，第一小组有多少人？
【对应练习3】
同学们去参观科技发明展览，共去了910人，分三批参观。第一批比第二批多30人，第三批比第二批少20人，三批各有多少同学参观？
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人教版2024-2025学年三年级数学上册专题提升
第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第五单元倍数问题·拓展篇
专题内容 本专题以和差倍问题为主，其中包括和倍问题、差倍问题、和差问题等内容。
总体评价
讲解建议 本专题内容涉及多位数乘一位数的乘法和除数是一位数的除法计算，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十三个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】和倍问题其一：基础型 4
【考点二】和倍问题其二：进阶型 6
【考点三】和倍问题其三：和不变问题 8
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题 10
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题 12
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题 14
【考点七】差倍问题其一：基础型 15
【考点八】差倍问题其二：进阶型 17
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题 19
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题 20
【考点十一】和差问题其一：基础型 21
【考点十二】和差问题其二：进阶型 23
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题 25
【第三篇】典型例题篇
【考点一】和倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和倍问题的数量关系式。
（1）和÷（倍数+1）=小数；
（2）小数×倍数=大数或和-小数=大数。
2.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
一个抽奖箱中有红球和白球共60个，红球的数量是白球的5倍。该抽奖箱中有多少个白球？（先画图，再解答）
【答案】图见详解；10个
【分析】根据题意，红球的数量是白球的5倍，把白球看成1份，红球是5份，即5＋1＝6份，用球的总数除以份数，即可求出每份球的数量，也就是白球的数量。
【详解】
红球和白球共60个
60÷（5＋1）
＝60÷6
＝10（个）
答：该抽奖箱中有10个白球。
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥有多少钱？弟弟有多少钱？
【答案】哥哥100元；弟弟50元
【分析】由题意作图如下：
由图可知，150元是弟弟钱数的3倍，可以用除法先算出弟弟的钱数，再用乘法算出哥哥的钱数。
【详解】弟弟：150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（元）
哥哥：50×2＝100（元）
答：哥哥有100元，弟弟有50元。
【对应练习2】
新世纪学校有篮球和足球一共240个，已知篮球的个数是足球的3倍，求篮球和足球各有多少个？
【答案】足球60个；篮球180个
【分析】根据题意作图如下：
篮球的个数是足球的3倍，那么240就是足球的个数的4倍，用除法即可算出足球的个数，再用乘法即可算出篮球的个数。
【详解】1＋3＝4（个）
240÷4＝60（个）
60×3＝180（个）
答：足球有60个，篮球有180个。
【对应练习3】
把一根长120厘米的绳子剪成2根。第一根的长度是第二根的3倍。这两根绳子较短的一根长多少厘米？
【答案】30厘米
【分析】由题可知，第一根绳子比第二根绳子长，第一根绳子相当于3根第二根绳子，所以可以将这根120厘米长的绳子看作为（3＋1）根的第二根绳子，用绳子的总长度除以第二根绳子的根数，即可求出较短的这根绳子的长度。
【详解】120÷（3＋1）
＝120÷4
＝30（厘米）
答：这两根绳子较短的一根长30厘米。
【考点二】和倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.当和倍问题中出现非整倍的情况时，应先将非整倍转化成整数倍，再按和倍问题的解题思路求解即可，仍可通过画线段图帮助解题。
2.几倍多几，和就减几；几倍少几，和就加几。
【典型例题1】几倍多几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班的3倍多20本，那么现在两班各有多少图书？
解析：
去掉20本，4份共有48-20=28（本）
提高班有28÷（3+1）=7（本）
基础班有48-7=41（本）
【对应练习1】
饲养场里养了白兔和灰兔共32只，养的白兔的只数比灰兔的4倍多2只。白兔和灰兔分别养了多少只？
解析：
将灰兔数量看作一倍量，那么两种兔子的总和相当于灰兔数量的5倍多2只，兔子数量总和32只，先减去2只，剩下只数刚好对应了5份，那么每一份就可求出来了。
灰兔：（32-2）÷（4＋1）=6（只）
白兔：6×4＋2=26（只）
答：白兔26只，灰兔6只。
【对应练习2】
师、徒两人共加工85个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
解析：
如果师傅少做5个，师、徒共做：85-5=80（个），徒弟做了：80÷（3＋1）=20
（个），师傅做了：20×3＋5=65（个）。
【典型例题2】几倍少几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班4倍少2本，那么现在两班各有多少图书？
解析：
加上2本，5份共有48+2=50（本）
提高班有50÷（4+1）=10（本）
基础班有48-10=38（本）
【对应练习1】
某班有学生76人，其中男生比女生的3倍少4人，男、女生各有多少人
解析：
女生人数：（76＋4）÷（3＋1）=20（人）
男生人数：20×3-4=56（人）或76-20=56（人）
【对应练习2】
一个停车场共停大、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大、小车各多少辆？
解析：
小车：（27＋3）÷（1＋2）=10（辆）
大车：10×2-3=17（辆）
【考点三】和倍问题其三：和不变问题。
【方法点拨】
和倍问题中的和不变问题，两个量之间给来给去，总和不变，已知倍数的情况下，可以先求出变化后的各个量，再求变化前的。
【典型例题】
甲、乙两班共有图书15册，如果甲班送2册图书给乙班，那么甲班拥有图书的册数正好是乙班的2倍。甲、乙两班原来各有图书多少册？
解析：
乙班现在的册数：15÷（2＋1）=5（册）
乙班原来的册数：5-2=3（册）
甲班原来的册数：15-3=12（册）
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【答案】110元；40元
【分析】哥哥的钱数比弟弟多，哥哥和弟弟一共有150元钱，把弟弟的钱数看作1份，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，则哥哥的钱数为2份，即2＋1＝3份，也就是把总钱数平均分成3份，用总钱数除以3，求出现在弟弟的钱数，这是哥哥给弟弟10元钱后弟弟的钱数，那么用现在弟弟的钱数减去10元，就是弟弟原来的钱数；再用总钱数减去弟弟原来的钱数，即可求出哥哥原来的钱数。
【详解】弟弟现在的钱数：
150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（元）
原来弟弟的钱数：
50－10＝40（元）
原来哥哥的钱数：
150－40＝110（元）
答：哥哥原来有110元，弟弟原来有40元。
【对应练习2】
老师家里有上、下两层书架，一共100本书，有一次老师将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍，问：原来上、下两层书架上各有多少本书？
【答案】上层30本；下层70本
【分析】由题意得，将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍。因为书的总数不变，所以此时上层书的数量的5倍就是100本，可以用除法算出现在上层的书的数量。再用现在上层的书的数量加上10本即可得到原来上层的书的数量，最后用减法即可算出原来下层的书的数量。
【详解】100÷（4＋1）
＝100÷5
＝20（本）
20＋10＝30（本）
100－30＝70（本）
答：原来上层书架上有30本书，原来下层书架上有70本书。
【对应练习3】
两箱茶叶共36千克，如果从甲箱取出2千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
【答案】甲箱原来有茶叶11千克；乙箱原来有茶叶25千克
【分析】两箱茶叶的总重量不变，所以当乙箱的重量是甲箱的3倍时，如果把总重量平均分成4份，则甲箱的重量就是其中的1份，由此即可求出甲箱此时的重量，所以加上2克就是甲箱原来的重量；用总重量减去甲箱原有的，就是乙箱原来的重量。
【详解】36÷（3＋1）＋2
＝36÷4＋2
＝9＋2
＝11（千克）
则乙箱原有：36－11＝25（千克）
答：甲箱原来有茶叶11千克；乙箱原来有茶叶25千克。
【点睛】根据变化后甲乙两箱的重量倍数关系，先求出变化后的甲箱的重量是解决本题的关键。
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题。
【方法点拨】
和倍问题中和的变化问题，先求出变化后的和，再利用和倍问题公式解决问题。
【典型例题】
妈妈买来苹果和橙子共17个，如果再买4个橙子，橙子的个数就是苹果的2倍，那么妈妈买来苹果和橙子各多少个？
【答案】7个苹果；10个橙子
【分析】如果再买4个橙子，一共购买的苹果和橙子的数量就是17＋4＝21（个），因为橙子的个数是苹果的2倍，因此苹果的3倍就等于21，用21除以3就是苹果的数量，用17减去苹果的数量就是橙子的数量。求橙子的数量也可以用苹果的数量乘2再减去4。据此解答即可。
【详解】17＋4＝21（个）
21÷3＝7（个）
17－7＝10（个）
或7×2－4
＝14－4
＝10（个）
答：妈妈买来7个苹果，10个橙子。
【对应练习1】
水果店运进苹果和梨共51筐，如果卖出6筐苹果，苹果的筐数就是梨的4倍，水果店运进的苹果和梨各多少筐？
【答案】苹果42筐，梨9筐
【分析】先用51筐减去6筐，计算出剩下的苹果和梨的总筐数；苹果的筐数是梨的4倍，那么将梨的筐数看作1份，那么苹果的筐数为4份，一共是（1＋4）份，用剩下的总筐数除以（1＋4），可以计算出1份的筐数，也就是梨的筐数；再用51筐减去梨的筐数，计算出运进的苹果筐数；据此解答。
【详解】梨：（51－6）÷（4＋1）
＝45÷5
＝9（筐）
苹果：51－9＝42（筐）
答：水果店运进的苹果有42筐，梨有9筐。
【对应练习2】
超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，求超市原有红酒和白酒各多少瓶？
【答案】红酒80瓶；白酒100瓶
【分析】超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，用红酒和白酒的总数量减去红酒卖出的数量，求出现在红酒和白酒的总数量，把红酒现在的数量看作1份，则白酒的数量是2份，即（2＋1）＝3份；也就是把现在的红酒和白酒的总数量平均分成3份，用现在的红酒和白酒的总数量除以3，求出现在红酒的数量，也就是红酒卖出30瓶后的数量，再用现在红酒的数量加上红酒卖出的30瓶，就是红酒原来的数量；再用原来红酒和白酒的总数量减去红酒原来的数量，即可求出白酒原来的数量。
【详解】现在红酒和白酒的总数量：
180－30＝150（瓶）
现在红酒的数量：
150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（瓶）
红酒原来的数量：
50＋30＝80（瓶）
白酒原来的数量：
180－80＝100（瓶）
答：超市原有红酒80瓶，白酒100瓶。
【对应练习3】
哥哥与弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【答案】哥哥80元；弟弟70元
【分析】哥哥和弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，用哥哥与弟弟原来的总钱数减去弟弟买零食吃的钱数，求出现在哥哥与弟弟的总钱数，把弟弟现在有的钱数看作1份，则哥哥的钱数为2份，即2＋1＝3份；也就是把现在哥哥与弟弟的总钱数平均分成3份，用现在的总钱数除以3，求出现在弟弟有的钱数，也就是弟弟花了30元钱买零食后的钱数，再用现在弟弟有的钱数加上买零食的30元，就是弟弟原来的钱数；再用原来总钱数减去弟弟原来的钱数，即可求出哥哥原来的钱数。
【详解】现在哥哥与弟弟的总钱数：
150－30＝120（元）
现在弟弟的钱数：
120÷（2＋1）
＝120÷3
＝40（元）
原来弟弟的钱数：
40＋30＝70（元）
原来哥哥的钱数：
150－70＝80（元）
答：哥哥原来有80元，弟弟原来有70元。
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题。
【方法点拨】
多个量之间的和倍问题，找准一倍数，再利用和倍问题的公式计算。
【典型例题1】问题一。
公园里一共有80棵树，杨树是柳树数量的2倍，松树是柳树的5倍，三种树各有多少棵？
解析：
柳树：80÷（1＋2＋5）=10（棵）
杨树：10×2=20（棵）
松树：10×5=50（棵）
答：柳树有10棵，杨树有20棵，松树有50棵。
【典型例题2】问题二。
甲乙丙三人共有135元钱，已知丙的钱是乙的钱3倍，乙的钱是甲的钱2倍，请问丙有多少元？
解析：
已知乙的钱是甲的2倍，丙的钱是乙的3倍。
所以甲为一倍，乙为2倍，丙为2×3=6倍
甲：135÷（1＋2＋6）=135÷9=15（元）
乙：15×2=30（元）
丙：30×3=90（元）
【对应练习1】
学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的4倍，排球的个数是足球的2倍。那么学校买来篮球、足球和排球各多少个？
解析：
把足球的个数看作1份数，篮球的个数是4份数，排球的个数是2份数，先求出足球的个数49÷（1＋4＋2）=7（个），再分别求篮球和排球的个数。篮球：7×4=28（个），排球：7×2=14（个）。
【对应练习2】
甲、乙、丙三数的和是40，已知甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，乙数为多少？
解析：
甲数是丙数的：2×3=6倍，则丙为：40÷（6＋3＋1）=4，乙为：4×3=12。
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用和倍问题的方式解决年龄问题，关键在于找到年龄和。
【典型例题】
今年姐妹年龄和共12岁，3年后，姐姐的年龄是妹妹的2倍。那么姐妹今年各多少岁？
解析：
3年后，年龄增加：3×2=6（岁）
3年后年龄和是：12+6=18（岁）
3年后妹妹的年龄：18÷（2+1）=6（岁）
今年妹妹的年龄：6-3=3（岁）
今年姐姐的年龄：12-3=9（岁）
【对应练习1】
3年前，父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年的年龄和是61岁，问：父亲今年多少岁？
解析：
3年前的年龄和：61-3×2=55（岁）
3年前儿子的年龄：55÷（4+1）=11（岁）
3年前父亲的年龄：11×4=44（岁）
今年父亲的年龄：44+3=47（岁）
【对应练习2】
4年前，妈妈的年龄是儿子的6倍，母子今年的年龄和是57岁。那么儿子今年多少岁？
解析：
4年前母子的年龄和为57-4×2=49（岁），4年前儿子年龄：49÷（1＋6）=7（岁），今年儿子年龄：7+4=11（岁）。
【对应练习3】
6年前，父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父子年龄和是78岁。问：父亲今年多少岁？
解析：
题目涉及三个不同的时间.年龄倍数不好调整，但年龄和容易调整，我们可求出6年前父子年龄和为78-2×6×2=54（岁），由和倍问题，儿子6年前年龄为54÷（5＋1）=9（岁），父亲6年前为9×5=45（岁），所以父亲今年为45＋6=51（岁）。
【考点七】差倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。
2.差倍问题的特点与和倍问题类似，解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
3.差倍问题的基本关系式。
差÷（倍数-1）=1倍数（较小数）；
1倍数×几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数。
4.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
三年级一班的故事书比二班的故事书多30本，一班的故事书是二班故事书的4倍，问：一班和二班各有多少本故事书？
【答案】一班40本；二班10本
【分析】
如图：，已知两班的故事书之差以及倍数关系，可以先用差÷（倍数－1）求出二班故事书有多少本，二班的故事书本数乘4即可求出一班有故事书多少本。
【详解】30÷（4－1）
30÷3
＝10（本）
10×4＝40（本）
答：一班有40本故事书，二班有10本故事书。
【对应练习1】
水果市场运进一批水果，已知运进苹果比梨多120个，苹果是梨的4倍，问：运进苹果和梨各多少个？
【答案】苹果160个；梨40个
【分析】根据题意作图如下：
由图可知，苹果比梨多120个。同时，苹果比梨多3倍，可以先用除法算出梨有多少个。再用乘法算出苹果有多少个。
【详解】4－1＝3
120÷3＝40（个）
40×4＝160（个）
答：苹果有160个，梨有40个。
【对应练习2】
花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？
【答案】月季花32盆；玫瑰花8盆
【分析】根据题意，月季花的盆数是玫瑰花的4倍，玫瑰花比月季花少24盆，则24盆是玫瑰花的（4－1）倍，用除法计算即可求出玫瑰花的盆数，再乘4即可求出月季花的盆数。
【详解】24÷（4－1）
＝24÷3
＝8（盆）
8×4＝32（盆）
答：花园里的月季花有32盆；玫瑰花有8盆。
【对应练习3】
一副羽毛球拍的价格是乒乓球拍的3倍，买一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，两种球拍的价格各是多少元？
【答案】羽毛球拍105元，乒乓球拍35元。
【分析】根据题意可知，一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，也就是它们的差是70元，即羽毛球拍的价钱比乒乓球拍贵（3－1）倍，由差倍公式进一步解答即可。
【详解】70÷（3－1）
＝70÷2
＝35（元）
35×3＝105（元）
答：羽毛球拍105元，乒乓球拍35元。
【考点八】差倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.在差倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，将非整倍化为整倍。
2.几倍多几，差就减几；几倍少几，差就加几。
【典型例题1】问题一。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多25箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多1箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
解析：
把差变为整数倍25-1=24（箱）
彩粉笔：24÷（4-1）=8（箱）
白粉笔：8+25=33（箱）
【对应练习1】
明德小学买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，明德小学买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
解析：
15-3=12（箱）
彩色粉笔数量：12÷（4-1）=4（箱）
白粉笔数量：4×4＋3=19（箱）
【对应练习2】
动物园里有很多猴子和猩猩，已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只。请问：动物园里有多少只猩猩？
解析：
猩猩有（25-5）÷（3-1）=10（只）
【典型例题2】问题二。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多30箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的5倍还少2箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
解析：
把差变为整数倍：30+2=32（箱）
彩粉笔：32÷（5-1）=8（箱）
白粉笔：8+30=38（箱）
【对应练习1】
光明小学买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，光明小学有蓝、绿水彩笔各多少支？
解析：
蓝色的水彩笔比绿色的多97支，蓝色的只需补上3支就是绿色的3倍，那么差也随之变成97＋3=100（支），蓝色的比绿色的多2倍，所以绿色的水彩笔为100÷（3-1）=50（支），蓝色的水彩笔为97＋50=147（支）。
【对应练习2】
米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的4倍少4个，且唐老鸭的土豆比米老鼠多20个。请问：唐老鸭挖了多少个土豆
解析：
米老鼠：（20＋4）÷（4-1）=8（个），鸭：8×4-4=28（个）。
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题。
【方法点拨】
有暗差的差倍问题，做题的一般步骤。
1.先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍；
2.接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差；
3.然后将现差或原差通过线段图的方法画出来；
4.画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系；
5.审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。
【典型例题】
有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根绳子的长度是第一根绳长的3倍，求这两根绳子原来长多少米？
解析：
现在两根绳子的差是：12+14=26（米）
第一根截去12米后剩下的长度：26÷（3-1）=13（米）
第一根绳子原来的长度是13+12=25（米），所以第二根长也是25米。
【对应练习1】
两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍，求两筐苹果原来各有多少千克
解析：
差：19-7=12（千克），乙筐现有重量：12÷（3-1）=6（千克），乙筐原有重量：6＋19=25（千克），所以甲筐原来重25千克。
【对应练习2】
两根一样长的电线，第一根用去176米，第二根用去26米后，所剩的电线中，第二根是第一根的4倍，问：两根电线原来各长多少米？
解析：
差：176-26=150（米）
第一根剩下：150÷（4-1）=50（米）
两根原长：50+176=226（米）
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用差倍问题的方式解决年龄问题，关键在于理解年龄差不变。
【典型例题1】问题一。
哥哥今年18岁，弟弟今年10岁，那么几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？
解析：
年龄差：18-10=8（岁）
弟弟：8÷（3-1）=4（岁）
10-4=6（年）
答：6年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
【典型例题2】问题二。
爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
解析：
根据“爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄”可得爸爸比儿子大13＋11=24岁，爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸的年龄是儿子的4倍时，两人年龄差还是24岁，此时儿子年龄：24÷（4-1）=8岁，爸爸年龄：4×8=32岁。
【对应练习1】
儿子今年9岁，妈妈今年33岁，儿子几岁时，妈妈的年龄正好是儿子的3倍
解析：
年龄差：33-9=24（岁）
儿子：24÷（3-1）=12（岁）
答：儿子12岁时，妈妈的年龄是他的3倍。
【对应练习2】
爸爸今年36岁，思思今年8岁，爸爸的年龄是思思的3倍时，思思多少岁？
解析：
年龄差不变，爸爸比思思大36-8=28（岁），当爸爸的年龄是思思年龄的3倍时，思思的年龄是28÷（3-1）=14（岁）。
【对应练习3】
爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
解析：
现在，爸爸比儿子大：15＋12=27（岁）
当爸爸的年龄是儿子的4倍时，27岁就是爸爸比儿子多的3倍
爸爸的年龄就是：27÷3×4=36（岁）。
【考点十一】和差问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和差问题。
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
2.和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
幸福小学四年级垃圾分类宣传志愿者共有25人，其中男生比女生多3人，男、女生各多少人？
【答案】14人；11人
【分析】根据题意，用过男生和女生的总数减去男生比女生多的人数再除以2就是女生的人数；用女生人数加3，就是男生的人数。
【详解】（25－3）÷2
＝22÷2
＝11（人）
11＋3＝14（人）
答：男生有14人，女生有11人。
【点睛】本题主要考查了和差问题，解题关键是：两数的和减去两数的差再除以2，就是其中较小的数。
【对应练习1】
雷老师买来一支钢笔和一支毛笔一共用了72元，毛笔的单价比钢笔少32元，一支钢笔和一支毛笔各多少元？
【答案】一支钢笔52元；一支毛笔20元
【分析】根据题意可知，用72－32就是两支毛笔的钱，据此求出毛笔的价格；再用72减去毛笔的价格就是钢笔的价格。
【详解】毛笔的价格：
（72－32）÷2
＝40÷2
＝20（元）
钢笔的价格：72－20＝52（元）
答：一支钢笔52元，一支毛笔20元。
【对应练习2】
欢欢和晶晶一共有324张贴画，欢欢比晶晶多78张，欢欢和晶晶各有多少张贴画？
【答案】201张、123张
【分析】给欢欢的贴画数减少78张，那么欢欢与晶晶的贴画数就相同了，先用324减78，再用所得差除以2，即可求出晶晶贴画的数量，最后给晶晶的贴画数加78，即可求出欢欢贴画的数量。
【详解】324－78＝246（张）
246÷2＝123（张）
123＋78＝201（张）
答：欢欢和晶晶各有201张、123张贴画。
【对应练习3】
李奶奶家养的鸡和鹅共68只，养的鸡比鹅多10只。李奶奶家养的鸡和鹅各有多少只？
【答案】鸡39只；鹅29只
【分析】通过画图解此题，画一条线段表示鸡的数量，再画一条线段比第一条线段稍短一些，表示鹅的数量，鸡比鹅多10只；鸡和鹅共68只；据此画图；根据图可知，总数量减去10然后将所得的结果除以2即可求出鹅的数量；然后用鹅的数量加10，即可求出鸡的数量；据此可解此题。
【详解】
鹅的数量：（68－10）÷2
＝58÷2
＝29（只）
鸡的数量：29＋10＝39（只）
答：李奶奶家养的鸡有39只，鹅有29只。
【考点十二】和差问题其二：进阶型。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
花房里有月季花和百合花一共72盆，卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多。花房里原来有百合花多少盆？月季花多少盆？
【答案】百合花21盆，月季花51盆
【分析】卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多，据此可知，月季花比百合花多30盆。用两种花的总盆数减去月季花比百合花多的盆数，求出两个百合花的盆数，再除以2，即可求出百合花的盆数。用两种花的总盆数减去百合花的盆数，求出月季花的盆数。
【详解】（72－30）÷2
＝42÷2
＝21（盆）
72－21＝51（盆）
答：花房里原来有百合花21盆，月季花51盆。
【点睛】本题考查和差问题，解答方法：小数＝（和－差）÷2，大数＝和－小数。
【对应练习1】
小张家养鸡和兔一共150只，卖掉52只鸡后，剩下的鸡和兔的只数同样多。他家养兔多少只？
【答案】49只
【分析】和差问题公式：小数＝（和－差）÷2，因此可将剩下的鸡和兔的只数各看成1份，那么剩下的鸡和兔的只数就是2份，因此用150减去52计算出剩下的鸡和兔的总数量，再用剩下的鸡和兔的总数量除以2即可。
【详解】150－52＝98（只）
98÷2＝49（只）
答：他家养兔49只。
【点睛】此题考查的是和差问题的计算，先计算出剩下的鸡和兔的总数量是解答此题的关键。
【对应练习2】
食堂购进了一批大米和面粉，一共706千克，用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多。食堂原来有大米和面粉各多少千克？
【答案】面粉365千克；大米341千克
【分析】用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多，说明原来面粉比大米多24千克。（和＋差）÷2＝大数，用706千克加上24千克再除以2，即可算出面粉的质量，面粉的质量减去24千克，即可算出大米的质量。
【详解】（706＋24）÷2
＝730÷2
＝365（千克）
365－24＝341（千克）
答：食堂原来有面粉365千克，大米341千克。
【对应练习3】
某超市有大米和面粉一共128袋，卖掉20袋大米后，剩下的大米和面粉的袋数同样多，原来有多少袋大米，多少袋面粉？
【答案】大米74袋；面粉54袋
【分析】（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数，大米和面粉总袋数加上大米比面粉多的袋数再除以2即可算出大米的袋数，大米和面粉总袋数减去大米比面粉多的袋数再除以2即可算出面粉的袋数。
【详解】（128＋20）÷2
＝148÷2
＝74（袋）
（128－20）÷2
＝108÷2
＝54（袋）
答：原来有74袋大米，54袋面粉。
【点睛】熟练掌握和差问题的计算是解答此题的关键。
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
小红的书比小明多9本，比小兰多2本，小明和小兰共47本书，小红，小明小兰各有多少本书？
【答案】29本；20本；27本
【分析】根据题意，小红比小明多9本，比小兰多2本，也就是说小明加上9本就和小红一样多，小兰加上2本也和小红一样多，已知小明和小兰共有47本，那么：小明加上9本与小兰加上2本的和是小红的2倍，求小红有多少本书，可列式为：（47＋9＋2）÷2，据此再计算出小明和小兰各有多少本书即可。
【详解】
小红：
（47＋9＋2）÷2
＝58÷2
＝29（本）
小明：29－9＝20（本）
小兰：29－2＝27（本）
答：小红、小明、小兰各有29本、20本、27本书。
【点睛】解答本题的关键是明确：小明加上9本与小兰加上2本的和是小红的2倍。
【对应练习1】
甲、乙、丙三个班共有学生146人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有多少人？
【答案】50人
【分析】乙班人数作为基准量，146人减去2人，加上6人，得到150人，正好是乙班人数的3倍，150人除以3得到乙班的人数。
【详解】（146－2＋6）÷3
＝150÷3
＝50（人）
答：乙班有50人。
【点睛】求解三个量的和差问题时，求其中的哪一个量，就以这个量为基准量。
【对应练习2】
三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组多20人，第一小组有多少人？
【答案】60人
【分析】一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，而三个小组总人数是180人，则用三个小组的总人数加上20人，求出2个一、二两个小组人数之和。再除以2，求出一、二两个小组人数之和。第一小组比第二小组多20人，则用一、二两个小组人数之和加上20人，求出2个第一小组的人数。再除以2，求出第一小组的人数。
【详解】（180＋20）÷2
＝200÷2
＝100（人）
（100＋20）÷2
＝120÷2
＝60（人）
答：第一小组有60人。
【点睛】本题考查和差问题，小数＝（和－差）÷2，大数＝（和＋差）÷2。
【对应练习3】
同学们去参观科技发明展览，共去了910人，分三批参观。第一批比第二批多30人，第三批比第二批少20人，三批各有多少同学参观？
【答案】第一批330人；第二批300人；第三批280人
【分析】我们可以假设三批人数同样多，从线段中可以看出，如果假设三批人数都和第一批人数相同，则第二批人数要比实际参观人数多30人，而第三批要比实际参观人数多（30＋20）人，这时总人数就不是910人，而是910＋30＋（30＋20）＝990（人），从而可以求出第一批的参观人数，另两批人数也就可以计算出来了。
【详解】把题中的数量关系画成线段图如下：
第一批：
第二批：
第三批：
第一批：（910＋30＋30＋20）÷3
＝990÷3
＝330（人）
第二批：330－30＝300（人）
第三批：300－20＝280（人）
答：第一批有330人参观，第二批有300人参观，第三批有280人参观。
【点睛】此题也可以假设三批人数都和第二批人数相同，或都和第三批人数相同进行解答。
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第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第五单元倍数问题·拓展篇
专题内容 本专题以和差倍问题为主，其中包括和倍问题、差倍问题、和差问题等内容。
总体评价
讲解建议 本专题内容涉及多位数乘一位数的乘法和除数是一位数的除法计算，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十三个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】和倍问题其一：基础型 4
【考点二】和倍问题其二：进阶型 5
【考点三】和倍问题其三：和不变问题 6
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题 7
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题 8
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题 9
【考点七】差倍问题其一：基础型 10
【考点八】差倍问题其二：进阶型 12
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题 13
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题 14
【考点十一】和差问题其一：基础型 15
【考点十二】和差问题其二：进阶型 16
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题 17
【第三篇】典型例题篇
【考点一】和倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和倍问题的数量关系式。
（1）和÷（倍数+1）=小数；
（2）小数×倍数=大数或和-小数=大数。
2.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
一个抽奖箱中有红球和白球共60个，红球的数量是白球的5倍。该抽奖箱中有多少个白球？（先画图，再解答）
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥有多少钱？弟弟有多少钱？
【对应练习2】
新世纪学校有篮球和足球一共240个，已知篮球的个数是足球的3倍，求篮球和足球各有多少个？
【对应练习3】
把一根长120厘米的绳子剪成2根。第一根的长度是第二根的3倍。这两根绳子较短的一根长多少厘米？
【考点二】和倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.当和倍问题中出现非整倍的情况时，应先将非整倍转化成整数倍，再按和倍问题的解题思路求解即可，仍可通过画线段图帮助解题。
2.几倍多几，和就减几；几倍少几，和就加几。
【典型例题1】几倍多几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班的3倍多20本，那么现在两班各有多少图书？
【对应练习1】
饲养场里养了白兔和灰兔共32只，养的白兔的只数比灰兔的4倍多2只。白兔和灰兔分别养了多少只？
【对应练习2】
师、徒两人共加工85个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
【典型例题2】几倍少几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班4倍少2本，那么现在两班各有多少图书？
【对应练习1】
某班有学生76人，其中男生比女生的3倍少4人，男、女生各有多少人
【对应练习2】
一个停车场共停大、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大、小车各多少辆？
【考点三】和倍问题其三：和不变问题。
【方法点拨】
和倍问题中的和不变问题，两个量之间给来给去，总和不变，已知倍数的情况下，可以先求出变化后的各个量，再求变化前的。
【典型例题】
甲、乙两班共有图书15册，如果甲班送2册图书给乙班，那么甲班拥有图书的册数正好是乙班的2倍。甲、乙两班原来各有图书多少册？
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【对应练习2】
老师家里有上、下两层书架，一共100本书，有一次老师将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍，问：原来上、下两层书架上各有多少本书？
【对应练习3】
两箱茶叶共36千克，如果从甲箱取出2千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题。
【方法点拨】
和倍问题中和的变化问题，先求出变化后的和，再利用和倍问题公式解决问题。
【典型例题】
妈妈买来苹果和橙子共17个，如果再买4个橙子，橙子的个数就是苹果的2倍，那么妈妈买来苹果和橙子各多少个？
【对应练习1】
水果店运进苹果和梨共51筐，如果卖出6筐苹果，苹果的筐数就是梨的4倍，水果店运进的苹果和梨各多少筐？
【对应练习2】
超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，求超市原有红酒和白酒各多少瓶？
【对应练习3】
哥哥与弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题。
【方法点拨】
多个量之间的和倍问题，找准一倍数，再利用和倍问题的公式计算。
【典型例题1】问题一。
公园里一共有80棵树，杨树是柳树数量的2倍，松树是柳树的5倍，三种树各有多少棵？
【典型例题2】问题二。
甲乙丙三人共有135元钱，已知丙的钱是乙的钱3倍，乙的钱是甲的钱2倍，请问丙有多少元？
【对应练习1】
学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的4倍，排球的个数是足球的2倍。那么学校买来篮球、足球和排球各多少个？
【对应练习2】
甲、乙、丙三数的和是40，已知甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，乙数为多少？
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用和倍问题的方式解决年龄问题，关键在于找到年龄和。
【典型例题】
今年姐妹年龄和共12岁，3年后，姐姐的年龄是妹妹的2倍。那么姐妹今年各多少岁？
【对应练习1】
3年前，父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年的年龄和是61岁，问：父亲今年多少岁？
【对应练习2】
4年前，妈妈的年龄是儿子的6倍，母子今年的年龄和是57岁。那么儿子今年多少岁？
【对应练习3】
6年前，父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父子年龄和是78岁。问：父亲今年多少岁？
【考点七】差倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。
2.差倍问题的特点与和倍问题类似，解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
3.差倍问题的基本关系式。
差÷（倍数-1）=1倍数（较小数）；
1倍数×几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数。
4.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
三年级一班的故事书比二班的故事书多30本，一班的故事书是二班故事书的4倍，问：一班和二班各有多少本故事书？
【对应练习1】
水果市场运进一批水果，已知运进苹果比梨多120个，苹果是梨的4倍，问：运进苹果和梨各多少个？
【对应练习2】
花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？
【对应练习3】
一副羽毛球拍的价格是乒乓球拍的3倍，买一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，两种球拍的价格各是多少元？
【考点八】差倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.在差倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，将非整倍化为整倍。
2.几倍多几，差就减几；几倍少几，差就加几。
【典型例题1】问题一。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多25箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多1箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
【对应练习1】
明德小学买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，明德小学买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
【对应练习2】
动物园里有很多猴子和猩猩，已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只。请问：动物园里有多少只猩猩？
【典型例题2】问题二。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多30箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的5倍还少2箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
【对应练习1】
光明小学买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，光明小学有蓝、绿水彩笔各多少支？
【对应练习2】
米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的4倍少4个，且唐老鸭的土豆比米老鼠多20个。请问：唐老鸭挖了多少个土豆
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题。
【方法点拨】
有暗差的差倍问题，做题的一般步骤。
1.先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍；
2.接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差；
3.然后将现差或原差通过线段图的方法画出来；
4.画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系；
5.审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。
【典型例题】
有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根绳子的长度是第一根绳长的3倍，求这两根绳子原来长多少米？
【对应练习1】
两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍，求两筐苹果原来各有多少千克
【对应练习2】
两根一样长的电线，第一根用去176米，第二根用去26米后，所剩的电线中，第二根是第一根的4倍，问：两根电线原来各长多少米？
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用差倍问题的方式解决年龄问题，关键在于理解年龄差不变。
【典型例题1】问题一。
哥哥今年18岁，弟弟今年10岁，那么几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？
【典型例题2】问题二。
爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
【对应练习1】
儿子今年9岁，妈妈今年33岁，儿子几岁时，妈妈的年龄正好是儿子的3倍
【对应练习2】
爸爸今年36岁，思思今年8岁，爸爸的年龄是思思的3倍时，思思多少岁？
【对应练习3】
爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
【考点十一】和差问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和差问题。
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
2.和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
幸福小学四年级垃圾分类宣传志愿者共有25人，其中男生比女生多3人，男、女生各多少人？
【对应练习1】
雷老师买来一支钢笔和一支毛笔一共用了72元，毛笔的单价比钢笔少32元，一支钢笔和一支毛笔各多少元？
【对应练习2】
欢欢和晶晶一共有324张贴画，欢欢比晶晶多78张，欢欢和晶晶各有多少张贴画？
【对应练习3】
李奶奶家养的鸡和鹅共68只，养的鸡比鹅多10只。李奶奶家养的鸡和鹅各有多少只？
【考点十二】和差问题其二：进阶型。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
花房里有月季花和百合花一共72盆，卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多。花房里原来有百合花多少盆？月季花多少盆？
【对应练习1】
小张家养鸡和兔一共150只，卖掉52只鸡后，剩下的鸡和兔的只数同样多。他家养兔多少只？
【对应练习2】
食堂购进了一批大米和面粉，一共706千克，用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多。食堂原来有大米和面粉各多少千克？
【对应练习3】
某超市有大米和面粉一共128袋，卖掉20袋大米后，剩下的大米和面粉的袋数同样多，原来有多少袋大米，多少袋面粉？
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
小红的书比小明多9本，比小兰多2本，小明和小兰共47本书，小红，小明小兰各有多少本书？
【对应练习1】
甲、乙、丙三个班共有学生146人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有多少人？
【对应练习2】
三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组多20人，第一小组有多少人？
【对应练习3】
同学们去参观科技发明展览，共去了910人，分三批参观。第一批比第二批多30人，第三批比第二批少20人，三批各有多少同学参观？
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人教版2024-2025学年三年级数学上册专题提升
第五单元倍数问题·拓展篇【十三大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第五单元倍数问题·拓展篇
专题内容 本专题以和差倍问题为主，其中包括和倍问题、差倍问题、和差问题等内容。
总体评价
讲解建议 本专题内容涉及多位数乘一位数的乘法和除数是一位数的除法计算，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十三个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】和倍问题其一：基础型 4
【考点二】和倍问题其二：进阶型 6
【考点三】和倍问题其三：和不变问题 8
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题 10
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题 12
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题 14
【考点七】差倍问题其一：基础型 15
【考点八】差倍问题其二：进阶型 17
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题 19
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题 20
【考点十一】和差问题其一：基础型 21
【考点十二】和差问题其二：进阶型 23
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题 25
【第三篇】典型例题篇
【考点一】和倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和倍问题的数量关系式。
（1）和÷（倍数+1）=小数；
（2）小数×倍数=大数或和-小数=大数。
2.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
一个抽奖箱中有红球和白球共60个，红球的数量是白球的5倍。该抽奖箱中有多少个白球？（先画图，再解答）
【答案】图见详解；10个
【分析】根据题意，红球的数量是白球的5倍，把白球看成1份，红球是5份，即5＋1＝6份，用球的总数除以份数，即可求出每份球的数量，也就是白球的数量。
【详解】
红球和白球共60个
60÷（5＋1）
＝60÷6
＝10（个）
答：该抽奖箱中有10个白球。
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥有多少钱？弟弟有多少钱？
【答案】哥哥100元；弟弟50元
【分析】由题意作图如下：
由图可知，150元是弟弟钱数的3倍，可以用除法先算出弟弟的钱数，再用乘法算出哥哥的钱数。
【详解】弟弟：150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（元）
哥哥：50×2＝100（元）
答：哥哥有100元，弟弟有50元。
【对应练习2】
新世纪学校有篮球和足球一共240个，已知篮球的个数是足球的3倍，求篮球和足球各有多少个？
【答案】足球60个；篮球180个
【分析】根据题意作图如下：
篮球的个数是足球的3倍，那么240就是足球的个数的4倍，用除法即可算出足球的个数，再用乘法即可算出篮球的个数。
【详解】1＋3＝4（个）
240÷4＝60（个）
60×3＝180（个）
答：足球有60个，篮球有180个。
【对应练习3】
把一根长120厘米的绳子剪成2根。第一根的长度是第二根的3倍。这两根绳子较短的一根长多少厘米？
【答案】30厘米
【分析】由题可知，第一根绳子比第二根绳子长，第一根绳子相当于3根第二根绳子，所以可以将这根120厘米长的绳子看作为（3＋1）根的第二根绳子，用绳子的总长度除以第二根绳子的根数，即可求出较短的这根绳子的长度。
【详解】120÷（3＋1）
＝120÷4
＝30（厘米）
答：这两根绳子较短的一根长30厘米。
【考点二】和倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.当和倍问题中出现非整倍的情况时，应先将非整倍转化成整数倍，再按和倍问题的解题思路求解即可，仍可通过画线段图帮助解题。
2.几倍多几，和就减几；几倍少几，和就加几。
【典型例题1】几倍多几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班的3倍多20本，那么现在两班各有多少图书？
解析：
去掉20本，4份共有48-20=28（本）
提高班有28÷（3+1）=7（本）
基础班有48-7=41（本）
【对应练习1】
饲养场里养了白兔和灰兔共32只，养的白兔的只数比灰兔的4倍多2只。白兔和灰兔分别养了多少只？
解析：
将灰兔数量看作一倍量，那么两种兔子的总和相当于灰兔数量的5倍多2只，兔子数量总和32只，先减去2只，剩下只数刚好对应了5份，那么每一份就可求出来了。
灰兔：（32-2）÷（4＋1）=6（只）
白兔：6×4＋2=26（只）
答：白兔26只，灰兔6只。
【对应练习2】
师、徒两人共加工85个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
解析：
如果师傅少做5个，师、徒共做：85-5=80（个），徒弟做了：80÷（3＋1）=20
（个），师傅做了：20×3＋5=65（个）。
【典型例题2】几倍少几。
乐乐老师所在学校的图书馆为各年级各班新增加了很多图书，其中三年级基础班和提高班一共有48本。如果基础班图书是提高班4倍少2本，那么现在两班各有多少图书？
解析：
加上2本，5份共有48+2=50（本）
提高班有50÷（4+1）=10（本）
基础班有48-10=38（本）
【对应练习1】
某班有学生76人，其中男生比女生的3倍少4人，男、女生各有多少人
解析：
女生人数：（76＋4）÷（3＋1）=20（人）
男生人数：20×3-4=56（人）或76-20=56（人）
【对应练习2】
一个停车场共停大、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大、小车各多少辆？
解析：
小车：（27＋3）÷（1＋2）=10（辆）
大车：10×2-3=17（辆）
【考点三】和倍问题其三：和不变问题。
【方法点拨】
和倍问题中的和不变问题，两个量之间给来给去，总和不变，已知倍数的情况下，可以先求出变化后的各个量，再求变化前的。
【典型例题】
甲、乙两班共有图书15册，如果甲班送2册图书给乙班，那么甲班拥有图书的册数正好是乙班的2倍。甲、乙两班原来各有图书多少册？
解析：
乙班现在的册数：15÷（2＋1）=5（册）
乙班原来的册数：5-2=3（册）
甲班原来的册数：15-3=12（册）
【对应练习1】
哥哥与弟弟一共有150元钱，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【答案】110元；40元
【分析】哥哥的钱数比弟弟多，哥哥和弟弟一共有150元钱，把弟弟的钱数看作1份，哥哥给了弟弟10元钱后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，则哥哥的钱数为2份，即2＋1＝3份，也就是把总钱数平均分成3份，用总钱数除以3，求出现在弟弟的钱数，这是哥哥给弟弟10元钱后弟弟的钱数，那么用现在弟弟的钱数减去10元，就是弟弟原来的钱数；再用总钱数减去弟弟原来的钱数，即可求出哥哥原来的钱数。
【详解】弟弟现在的钱数：
150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（元）
原来弟弟的钱数：
50－10＝40（元）
原来哥哥的钱数：
150－40＝110（元）
答：哥哥原来有110元，弟弟原来有40元。
【对应练习2】
老师家里有上、下两层书架，一共100本书，有一次老师将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍，问：原来上、下两层书架上各有多少本书？
【答案】上层30本；下层70本
【分析】由题意得，将上层的10本书放到下层后，这时候下层的书刚好是上层的4倍。因为书的总数不变，所以此时上层书的数量的5倍就是100本，可以用除法算出现在上层的书的数量。再用现在上层的书的数量加上10本即可得到原来上层的书的数量，最后用减法即可算出原来下层的书的数量。
【详解】100÷（4＋1）
＝100÷5
＝20（本）
20＋10＝30（本）
100－30＝70（本）
答：原来上层书架上有30本书，原来下层书架上有70本书。
【对应练习3】
两箱茶叶共36千克，如果从甲箱取出2千克放入乙箱，那么乙箱的质量是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
【答案】甲箱原来有茶叶11千克；乙箱原来有茶叶25千克
【分析】两箱茶叶的总重量不变，所以当乙箱的重量是甲箱的3倍时，如果把总重量平均分成4份，则甲箱的重量就是其中的1份，由此即可求出甲箱此时的重量，所以加上2克就是甲箱原来的重量；用总重量减去甲箱原有的，就是乙箱原来的重量。
【详解】36÷（3＋1）＋2
＝36÷4＋2
＝9＋2
＝11（千克）
则乙箱原有：36－11＝25（千克）
答：甲箱原来有茶叶11千克；乙箱原来有茶叶25千克。
【点睛】根据变化后甲乙两箱的重量倍数关系，先求出变化后的甲箱的重量是解决本题的关键。
【考点四】和倍问题其四：和的变化问题。
【方法点拨】
和倍问题中和的变化问题，先求出变化后的和，再利用和倍问题公式解决问题。
【典型例题】
妈妈买来苹果和橙子共17个，如果再买4个橙子，橙子的个数就是苹果的2倍，那么妈妈买来苹果和橙子各多少个？
【答案】7个苹果；10个橙子
【分析】如果再买4个橙子，一共购买的苹果和橙子的数量就是17＋4＝21（个），因为橙子的个数是苹果的2倍，因此苹果的3倍就等于21，用21除以3就是苹果的数量，用17减去苹果的数量就是橙子的数量。求橙子的数量也可以用苹果的数量乘2再减去4。据此解答即可。
【详解】17＋4＝21（个）
21÷3＝7（个）
17－7＝10（个）
或7×2－4
＝14－4
＝10（个）
答：妈妈买来7个苹果，10个橙子。
【对应练习1】
水果店运进苹果和梨共51筐，如果卖出6筐苹果，苹果的筐数就是梨的4倍，水果店运进的苹果和梨各多少筐？
【答案】苹果42筐，梨9筐
【分析】先用51筐减去6筐，计算出剩下的苹果和梨的总筐数；苹果的筐数是梨的4倍，那么将梨的筐数看作1份，那么苹果的筐数为4份，一共是（1＋4）份，用剩下的总筐数除以（1＋4），可以计算出1份的筐数，也就是梨的筐数；再用51筐减去梨的筐数，计算出运进的苹果筐数；据此解答。
【详解】梨：（51－6）÷（4＋1）
＝45÷5
＝9（筐）
苹果：51－9＝42（筐）
答：水果店运进的苹果有42筐，梨有9筐。
【对应练习2】
超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，求超市原有红酒和白酒各多少瓶？
【答案】红酒80瓶；白酒100瓶
【分析】超市有红酒和白酒一共180瓶，红酒卖出30瓶后，白酒的数量是红酒的2倍，用红酒和白酒的总数量减去红酒卖出的数量，求出现在红酒和白酒的总数量，把红酒现在的数量看作1份，则白酒的数量是2份，即（2＋1）＝3份；也就是把现在的红酒和白酒的总数量平均分成3份，用现在的红酒和白酒的总数量除以3，求出现在红酒的数量，也就是红酒卖出30瓶后的数量，再用现在红酒的数量加上红酒卖出的30瓶，就是红酒原来的数量；再用原来红酒和白酒的总数量减去红酒原来的数量，即可求出白酒原来的数量。
【详解】现在红酒和白酒的总数量：
180－30＝150（瓶）
现在红酒的数量：
150÷（2＋1）
＝150÷3
＝50（瓶）
红酒原来的数量：
50＋30＝80（瓶）
白酒原来的数量：
180－80＝100（瓶）
答：超市原有红酒80瓶，白酒100瓶。
【对应练习3】
哥哥与弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，问：哥哥原来有多少钱？弟弟原来有多少钱？
【答案】哥哥80元；弟弟70元
【分析】哥哥和弟弟一共有150元钱，弟弟花了30元钱买零食吃后，这时哥哥的钱数是弟弟的2倍，用哥哥与弟弟原来的总钱数减去弟弟买零食吃的钱数，求出现在哥哥与弟弟的总钱数，把弟弟现在有的钱数看作1份，则哥哥的钱数为2份，即2＋1＝3份；也就是把现在哥哥与弟弟的总钱数平均分成3份，用现在的总钱数除以3，求出现在弟弟有的钱数，也就是弟弟花了30元钱买零食后的钱数，再用现在弟弟有的钱数加上买零食的30元，就是弟弟原来的钱数；再用原来总钱数减去弟弟原来的钱数，即可求出哥哥原来的钱数。
【详解】现在哥哥与弟弟的总钱数：
150－30＝120（元）
现在弟弟的钱数：
120÷（2＋1）
＝120÷3
＝40（元）
原来弟弟的钱数：
40＋30＝70（元）
原来哥哥的钱数：
150－70＝80（元）
答：哥哥原来有80元，弟弟原来有70元。
【考点五】和倍问题其五：多个量的和倍问题。
【方法点拨】
多个量之间的和倍问题，找准一倍数，再利用和倍问题的公式计算。
【典型例题1】问题一。
公园里一共有80棵树，杨树是柳树数量的2倍，松树是柳树的5倍，三种树各有多少棵？
解析：
柳树：80÷（1＋2＋5）=10（棵）
杨树：10×2=20（棵）
松树：10×5=50（棵）
答：柳树有10棵，杨树有20棵，松树有50棵。
【典型例题2】问题二。
甲乙丙三人共有135元钱，已知丙的钱是乙的钱3倍，乙的钱是甲的钱2倍，请问丙有多少元？
解析：
已知乙的钱是甲的2倍，丙的钱是乙的3倍。
所以甲为一倍，乙为2倍，丙为2×3=6倍
甲：135÷（1＋2＋6）=135÷9=15（元）
乙：15×2=30（元）
丙：30×3=90（元）
【对应练习1】
学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的4倍，排球的个数是足球的2倍。那么学校买来篮球、足球和排球各多少个？
解析：
把足球的个数看作1份数，篮球的个数是4份数，排球的个数是2份数，先求出足球的个数49÷（1＋4＋2）=7（个），再分别求篮球和排球的个数。篮球：7×4=28（个），排球：7×2=14（个）。
【对应练习2】
甲、乙、丙三数的和是40，已知甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，乙数为多少？
解析：
甲数是丙数的：2×3=6倍，则丙为：40÷（6＋3＋1）=4，乙为：4×3=12。
【考点六】和倍问题其六：和倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用和倍问题的方式解决年龄问题，关键在于找到年龄和。
【典型例题】
今年姐妹年龄和共12岁，3年后，姐姐的年龄是妹妹的2倍。那么姐妹今年各多少岁？
解析：
3年后，年龄增加：3×2=6（岁）
3年后年龄和是：12+6=18（岁）
3年后妹妹的年龄：18÷（2+1）=6（岁）
今年妹妹的年龄：6-3=3（岁）
今年姐姐的年龄：12-3=9（岁）
【对应练习1】
3年前，父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年的年龄和是61岁，问：父亲今年多少岁？
解析：
3年前的年龄和：61-3×2=55（岁）
3年前儿子的年龄：55÷（4+1）=11（岁）
3年前父亲的年龄：11×4=44（岁）
今年父亲的年龄：44+3=47（岁）
【对应练习2】
4年前，妈妈的年龄是儿子的6倍，母子今年的年龄和是57岁。那么儿子今年多少岁？
解析：
4年前母子的年龄和为57-4×2=49（岁），4年前儿子年龄：49÷（1＋6）=7（岁），今年儿子年龄：7+4=11（岁）。
【对应练习3】
6年前，父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父子年龄和是78岁。问：父亲今年多少岁？
解析：
题目涉及三个不同的时间.年龄倍数不好调整，但年龄和容易调整，我们可求出6年前父子年龄和为78-2×6×2=54（岁），由和倍问题，儿子6年前年龄为54÷（5＋1）=9（岁），父亲6年前为9×5=45（岁），所以父亲今年为45＋6=51（岁）。
【考点七】差倍问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。
2.差倍问题的特点与和倍问题类似，解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
3.差倍问题的基本关系式。
差÷（倍数-1）=1倍数（较小数）；
1倍数×几倍=几倍数（较大数）或较小数+差=较大数。
4.画线段图。
第一步：画1倍量；
第二步：画多倍量；
第三步：标数据。
【典型例题】
三年级一班的故事书比二班的故事书多30本，一班的故事书是二班故事书的4倍，问：一班和二班各有多少本故事书？
【答案】一班40本；二班10本
【分析】
如图：，已知两班的故事书之差以及倍数关系，可以先用差÷（倍数－1）求出二班故事书有多少本，二班的故事书本数乘4即可求出一班有故事书多少本。
【详解】30÷（4－1）
30÷3
＝10（本）
10×4＝40（本）
答：一班有40本故事书，二班有10本故事书。
【对应练习1】
水果市场运进一批水果，已知运进苹果比梨多120个，苹果是梨的4倍，问：运进苹果和梨各多少个？
【答案】苹果160个；梨40个
【分析】根据题意作图如下：
由图可知，苹果比梨多120个。同时，苹果比梨多3倍，可以先用除法算出梨有多少个。再用乘法算出苹果有多少个。
【详解】4－1＝3
120÷3＝40（个）
40×4＝160（个）
答：苹果有160个，梨有40个。
【对应练习2】
花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？
【答案】月季花32盆；玫瑰花8盆
【分析】根据题意，月季花的盆数是玫瑰花的4倍，玫瑰花比月季花少24盆，则24盆是玫瑰花的（4－1）倍，用除法计算即可求出玫瑰花的盆数，再乘4即可求出月季花的盆数。
【详解】24÷（4－1）
＝24÷3
＝8（盆）
8×4＝32（盆）
答：花园里的月季花有32盆；玫瑰花有8盆。
【对应练习3】
一副羽毛球拍的价格是乒乓球拍的3倍，买一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，两种球拍的价格各是多少元？
【答案】羽毛球拍105元，乒乓球拍35元。
【分析】根据题意可知，一副羽毛球拍比乒乓球拍多花了70元，也就是它们的差是70元，即羽毛球拍的价钱比乒乓球拍贵（3－1）倍，由差倍公式进一步解答即可。
【详解】70÷（3－1）
＝70÷2
＝35（元）
35×3＝105（元）
答：羽毛球拍105元，乒乓球拍35元。
【考点八】差倍问题其二：进阶型。
【方法点拨】
1.在差倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，把“少”的补上，将非整倍化为整倍。
2.几倍多几，差就减几；几倍少几，差就加几。
【典型例题1】问题一。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多25箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多1箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
解析：
把差变为整数倍25-1=24（箱）
彩粉笔：24÷（4-1）=8（箱）
白粉笔：8+25=33（箱）
【对应练习1】
明德小学买的白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱，明德小学买来的白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
解析：
15-3=12（箱）
彩色粉笔数量：12÷（4-1）=4（箱）
白粉笔数量：4×4＋3=19（箱）
【对应练习2】
动物园里有很多猴子和猩猩，已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只。请问：动物园里有多少只猩猩？
解析：
猩猩有（25-5）÷（3-1）=10（只）
【典型例题2】问题二。
学校买来白粉笔比彩色粉笔多30箱，白粉笔的箱数比彩色粉笔的5倍还少2箱。问：学校买来彩色粉笔和白粉笔各多少箱？
解析：
把差变为整数倍：30+2=32（箱）
彩粉笔：32÷（5-1）=8（箱）
白粉笔：8+30=38（箱）
【对应练习1】
光明小学买来的绿色水彩笔比蓝色的少97支，蓝色水彩笔比绿色的3倍少3支，光明小学有蓝、绿水彩笔各多少支？
解析：
蓝色的水彩笔比绿色的多97支，蓝色的只需补上3支就是绿色的3倍，那么差也随之变成97＋3=100（支），蓝色的比绿色的多2倍，所以绿色的水彩笔为100÷（3-1）=50（支），蓝色的水彩笔为97＋50=147（支）。
【对应练习2】
米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的4倍少4个，且唐老鸭的土豆比米老鼠多20个。请问：唐老鸭挖了多少个土豆
解析：
米老鼠：（20＋4）÷（4-1）=8（个），鸭：8×4-4=28（个）。
【考点九】差倍问题其三：暗差型问题。
【方法点拨】
有暗差的差倍问题，做题的一般步骤。
1.先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即现倍或原倍；
2.接下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍则找原差；
3.然后将现差或原差通过线段图的方法画出来；
4.画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系；
5.审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。
【典型例题】
有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根绳子的长度是第一根绳长的3倍，求这两根绳子原来长多少米？
解析：
现在两根绳子的差是：12+14=26（米）
第一根截去12米后剩下的长度：26÷（3-1）=13（米）
第一根绳子原来的长度是13+12=25（米），所以第二根长也是25米。
【对应练习1】
两筐重量相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍，求两筐苹果原来各有多少千克
解析：
差：19-7=12（千克），乙筐现有重量：12÷（3-1）=6（千克），乙筐原有重量：6＋19=25（千克），所以甲筐原来重25千克。
【对应练习2】
两根一样长的电线，第一根用去176米，第二根用去26米后，所剩的电线中，第二根是第一根的4倍，问：两根电线原来各长多少米？
解析：
差：176-26=150（米）
第一根剩下：150÷（4-1）=50（米）
两根原长：50+176=226（米）
【考点十】差倍问题其四：差倍问题与年龄问题。
【方法点拨】
利用差倍问题的方式解决年龄问题，关键在于理解年龄差不变。
【典型例题1】问题一。
哥哥今年18岁，弟弟今年10岁，那么几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？
解析：
年龄差：18-10=8（岁）
弟弟：8÷（3-1）=4（岁）
10-4=6（年）
答：6年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
【典型例题2】问题二。
爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
解析：
根据“爸爸13年前的年龄相当于儿子11年后的年龄”可得爸爸比儿子大13＋11=24岁，爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸的年龄是儿子的4倍时，两人年龄差还是24岁，此时儿子年龄：24÷（4-1）=8岁，爸爸年龄：4×8=32岁。
【对应练习1】
儿子今年9岁，妈妈今年33岁，儿子几岁时，妈妈的年龄正好是儿子的3倍
解析：
年龄差：33-9=24（岁）
儿子：24÷（3-1）=12（岁）
答：儿子12岁时，妈妈的年龄是他的3倍。
【对应练习2】
爸爸今年36岁，思思今年8岁，爸爸的年龄是思思的3倍时，思思多少岁？
解析：
年龄差不变，爸爸比思思大36-8=28（岁），当爸爸的年龄是思思年龄的3倍时，思思的年龄是28÷（3-1）=14（岁）。
【对应练习3】
爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁
解析：
现在，爸爸比儿子大：15＋12=27（岁）
当爸爸的年龄是儿子的4倍时，27岁就是爸爸比儿子多的3倍
爸爸的年龄就是：27÷3×4=36（岁）。
【考点十一】和差问题其一：基础型。
【方法点拨】
1.和差问题。
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
2.和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
幸福小学四年级垃圾分类宣传志愿者共有25人，其中男生比女生多3人，男、女生各多少人？
【答案】14人；11人
【分析】根据题意，用过男生和女生的总数减去男生比女生多的人数再除以2就是女生的人数；用女生人数加3，就是男生的人数。
【详解】（25－3）÷2
＝22÷2
＝11（人）
11＋3＝14（人）
答：男生有14人，女生有11人。
【点睛】本题主要考查了和差问题，解题关键是：两数的和减去两数的差再除以2，就是其中较小的数。
【对应练习1】
雷老师买来一支钢笔和一支毛笔一共用了72元，毛笔的单价比钢笔少32元，一支钢笔和一支毛笔各多少元？
【答案】一支钢笔52元；一支毛笔20元
【分析】根据题意可知，用72－32就是两支毛笔的钱，据此求出毛笔的价格；再用72减去毛笔的价格就是钢笔的价格。
【详解】毛笔的价格：
（72－32）÷2
＝40÷2
＝20（元）
钢笔的价格：72－20＝52（元）
答：一支钢笔52元，一支毛笔20元。
【对应练习2】
欢欢和晶晶一共有324张贴画，欢欢比晶晶多78张，欢欢和晶晶各有多少张贴画？
【答案】201张、123张
【分析】给欢欢的贴画数减少78张，那么欢欢与晶晶的贴画数就相同了，先用324减78，再用所得差除以2，即可求出晶晶贴画的数量，最后给晶晶的贴画数加78，即可求出欢欢贴画的数量。
【详解】324－78＝246（张）
246÷2＝123（张）
123＋78＝201（张）
答：欢欢和晶晶各有201张、123张贴画。
【对应练习3】
李奶奶家养的鸡和鹅共68只，养的鸡比鹅多10只。李奶奶家养的鸡和鹅各有多少只？
【答案】鸡39只；鹅29只
【分析】通过画图解此题，画一条线段表示鸡的数量，再画一条线段比第一条线段稍短一些，表示鹅的数量，鸡比鹅多10只；鸡和鹅共68只；据此画图；根据图可知，总数量减去10然后将所得的结果除以2即可求出鹅的数量；然后用鹅的数量加10，即可求出鸡的数量；据此可解此题。
【详解】
鹅的数量：（68－10）÷2
＝58÷2
＝29（只）
鸡的数量：29＋10＝39（只）
答：李奶奶家养的鸡有39只，鹅有29只。
【考点十二】和差问题其二：进阶型。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
花房里有月季花和百合花一共72盆，卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多。花房里原来有百合花多少盆？月季花多少盆？
【答案】百合花21盆，月季花51盆
【分析】卖掉30盆月季花后，两种花的盆数同样多，据此可知，月季花比百合花多30盆。用两种花的总盆数减去月季花比百合花多的盆数，求出两个百合花的盆数，再除以2，即可求出百合花的盆数。用两种花的总盆数减去百合花的盆数，求出月季花的盆数。
【详解】（72－30）÷2
＝42÷2
＝21（盆）
72－21＝51（盆）
答：花房里原来有百合花21盆，月季花51盆。
【点睛】本题考查和差问题，解答方法：小数＝（和－差）÷2，大数＝和－小数。
【对应练习1】
小张家养鸡和兔一共150只，卖掉52只鸡后，剩下的鸡和兔的只数同样多。他家养兔多少只？
【答案】49只
【分析】和差问题公式：小数＝（和－差）÷2，因此可将剩下的鸡和兔的只数各看成1份，那么剩下的鸡和兔的只数就是2份，因此用150减去52计算出剩下的鸡和兔的总数量，再用剩下的鸡和兔的总数量除以2即可。
【详解】150－52＝98（只）
98÷2＝49（只）
答：他家养兔49只。
【点睛】此题考查的是和差问题的计算，先计算出剩下的鸡和兔的总数量是解答此题的关键。
【对应练习2】
食堂购进了一批大米和面粉，一共706千克，用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多。食堂原来有大米和面粉各多少千克？
【答案】面粉365千克；大米341千克
【分析】用掉24千克面粉后，剩下的面粉和大米一样多，说明原来面粉比大米多24千克。（和＋差）÷2＝大数，用706千克加上24千克再除以2，即可算出面粉的质量，面粉的质量减去24千克，即可算出大米的质量。
【详解】（706＋24）÷2
＝730÷2
＝365（千克）
365－24＝341（千克）
答：食堂原来有面粉365千克，大米341千克。
【对应练习3】
某超市有大米和面粉一共128袋，卖掉20袋大米后，剩下的大米和面粉的袋数同样多，原来有多少袋大米，多少袋面粉？
【答案】大米74袋；面粉54袋
【分析】（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数，大米和面粉总袋数加上大米比面粉多的袋数再除以2即可算出大米的袋数，大米和面粉总袋数减去大米比面粉多的袋数再除以2即可算出面粉的袋数。
【详解】（128＋20）÷2
＝148÷2
＝74（袋）
（128－20）÷2
＝108÷2
＝54（袋）
答：原来有74袋大米，54袋面粉。
【点睛】熟练掌握和差问题的计算是解答此题的关键。
【考点十三】和差问题其三：多个量的和差问题。
【方法点拨】
和差问题的解题公式。
大数＝（和＋差）÷2；
小数＝（和－差）÷2。
【典型例题】
小红的书比小明多9本，比小兰多2本，小明和小兰共47本书，小红，小明小兰各有多少本书？
【答案】29本；20本；27本
【分析】根据题意，小红比小明多9本，比小兰多2本，也就是说小明加上9本就和小红一样多，小兰加上2本也和小红一样多，已知小明和小兰共有47本，那么：小明加上9本与小兰加上2本的和是小红的2倍，求小红有多少本书，可列式为：（47＋9＋2）÷2，据此再计算出小明和小兰各有多少本书即可。
【详解】
小红：
（47＋9＋2）÷2
＝58÷2
＝29（本）
小明：29－9＝20（本）
小兰：29－2＝27（本）
答：小红、小明、小兰各有29本、20本、27本书。
【点睛】解答本题的关键是明确：小明加上9本与小兰加上2本的和是小红的2倍。
【对应练习1】
甲、乙、丙三个班共有学生146人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有多少人？
【答案】50人
【分析】乙班人数作为基准量，146人减去2人，加上6人，得到150人，正好是乙班人数的3倍，150人除以3得到乙班的人数。
【详解】（146－2＋6）÷3
＝150÷3
＝50（人）
答：乙班有50人。
【点睛】求解三个量的和差问题时，求其中的哪一个量，就以这个量为基准量。
【对应练习2】
三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组多20人，第一小组有多少人？
【答案】60人
【分析】一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，而三个小组总人数是180人，则用三个小组的总人数加上20人，求出2个一、二两个小组人数之和。再除以2，求出一、二两个小组人数之和。第一小组比第二小组多20人，则用一、二两个小组人数之和加上20人，求出2个第一小组的人数。再除以2，求出第一小组的人数。
【详解】（180＋20）÷2
＝200÷2
＝100（人）
（100＋20）÷2
＝120÷2
＝60（人）
答：第一小组有60人。
【点睛】本题考查和差问题，小数＝（和－差）÷2，大数＝（和＋差）÷2。
【对应练习3】
同学们去参观科技发明展览，共去了910人，分三批参观。第一批比第二批多30人，第三批比第二批少20人，三批各有多少同学参观？
【答案】第一批330人；第二批300人；第三批280人
【分析】我们可以假设三批人数同样多，从线段中可以看出，如果假设三批人数都和第一批人数相同，则第二批人数要比实际参观人数多30人，而第三批要比实际参观人数多（30＋20）人，这时总人数就不是910人，而是910＋30＋（30＋20）＝990（人），从而可以求出第一批的参观人数，另两批人数也就可以计算出来了。
【详解】把题中的数量关系画成线段图如下：
第一批：
第二批：
第三批：
第一批：（910＋30＋30＋20）÷3
＝990÷3
＝330（人）
第二批：330－30＝300（人）
第三批：300－20＝280（人）
答：第一批有330人参观，第二批有300人参观，第三批有280人参观。
【点睛】此题也可以假设三批人数都和第二批人数相同，或都和第三批人数相同进行解答。
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