河南省郑州外国语学校2024届高三上学期8月开学考数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知等差数列的前项和为,且满足,则( )
A. B. C. D.
3.已知集合,则( )
A. B.
C. D.
4.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知,,,则的值为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数,则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则 .
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.关于函数,,下列命题正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在上单调递增
C. 函数的表达式可改写为
D. 函数图象可先将图象向左平移,再把各点横坐标变为原来的得到
10.下列命题是真命题的是( )
A. ,使函数在上为偶函数
B. ,函数的值恒为正数
C. ,
D. ,
11.定义在上的函数满足,则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 单调递增
12.已知,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则下列说法正确的有( )
A.
B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.化简的结果为 .
14.复数为虚数单位在复平面上对应的点到原点的距离为 .
15.在中,,,则的形状为 选填:等边三角形,等腰三角形或等腰直角三角形
16.如图所示,函数的图象由两条射线和三条线段组成.若,,则正实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共4小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前三项与数列的前三项对应相同,且对任意的都成立,数列是等差数列.
求数列与的通项公式;
证明:不存在,使得.
18.本小题分
如图,在锥体中,四边形为边长为的菱形,且,,,,分别是,的中点,
证明:平面;
求二面角的余弦值.
19.本小题分
已知函数.
求函数在区间上的最值;
若,,求的值.
20.本小题分
设是数列的前项和,已知
求,并证明:是等比数列;
求满足的所有正整数.
参考答案
1.
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13.
14.
15.等边三角形
16.
17.解:因为 ,
则当 时, ,
,得 ,则 ,
在中令 ,可得 ,所以 .
由题设, , , ,则 , ,
数列 的公差为 ,
所以 ,
所以 .
证明: ,
当 时, 单调递增,且 ,
所以 时, ,
又 ,所以不存在 ,使得 .
18.解:证明:取的中点,连接,
四边形是边长为的菱形,且,
是边长为的正三角形,得,且,
,
,且,
,平面,
平面
分别是的中点,
,即四边形为平行四边形,
,
平面,平面,
平面,
同理可证:平面,
,
平面平面,
平面;
由知:为二面角的平面角,又,
所以,
即二面角的余弦值为
19.解:由题意得.
因为,所以,,所以,即函数在区间上的最大值为, 最小值为.
因为,, 所以,所以,,所以
.
20.解:由可得,
所以,
可得,
由已知得
,
所以,
其中,
所以是以为首项,
为公比的等比数列;
由知,
所以,
所以,
所以
,
由二次函数及指数函数性质可知
当时,单调递减,
其中,
所以满足的所有正整数为,.
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