河南省郑州外国语学校2024届高三上学期8月开学考数学试题（含答案）

河南省郑州外国语学校2024届高三上学期8月开学考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知等差数列的前项和为，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，，下列命题正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在上单调递增
C. 函数的表达式可改写为
D. 函数图象可先将图象向左平移，再把各点横坐标变为原来的得到
10.下列命题是真命题的是( )
A. ，使函数在上为偶函数
B. ，函数的值恒为正数
C. ，
D. ，
11.定义在上的函数满足，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 单调递增
12.已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有( )
A.
B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简的结果为 ．
14.复数为虚数单位在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
15.在中，，，则的形状为 选填：等边三角形，等腰三角形或等腰直角三角形
16.如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列．
求数列与的通项公式；
证明：不存在，使得．
18.本小题分
如图，在锥体中，四边形为边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，
证明：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最值；
若，，求的值．
20.本小题分
设是数列的前项和，已知
求，并证明：是等比数列；
求满足的所有正整数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.等边三角形
16.
17.解：因为 ，
则当 时， ，
，得 ，则 ，
在中令 ，可得 ，所以 ．
由题设， ， ， ，则 ， ，
数列 的公差为 ，
所以 ，
所以 ．
证明： ，
当 时， 单调递增，且 ，
所以 时， ，
又 ，所以不存在 ，使得 ．

18.解：证明：取的中点，连接，
四边形是边长为的菱形，且，
是边长为的正三角形，得，且，
，
，且，
，平面，
平面
分别是的中点，
，即四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
同理可证：平面，
，
平面平面，
平面；
由知：为二面角的平面角，又，
所以，
即二面角的余弦值为

19.解：由题意得．
因为，所以，，所以，即函数在区间上的最大值为， 最小值为．
因为，， 所以，所以，，所以
．

20.解：由可得，
所以，
可得，
由已知得
，
所以，
其中，
所以是以为首项，
为公比的等比数列；
由知，
所以，
所以，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知
当时，单调递减，
其中，
所以满足的所有正整数为，．

第1页，共1页