福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题（含答案）

福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则( )
A. B. C. D.
4.以为渐近线的双曲线可以是( )
A. B. C. D.
5.如图，梯形的腰的中点为，且，记，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.已知圆锥的底面半径为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，若截得小圆锥的体积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.大气压强单位：与海拔单位：之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数已知海拔为两地的大气压强分别为若测得某地的大气压强为，则该地的海拔约为 参考数据：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.如图是函数的部分图象，则( )
A. 是的一个周期 B.
C. D. 在上恰有个零点
11.已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数对且，则( )
A. B. 为偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正三棱柱的底面边长为，高为，则其体积为 ．
13.已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 ．
14.已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足，．
证明数列为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知内角的对边分别为，且．
求角；
若为中点，求的长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．

求证：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程；
直线交于两点．
点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程．
19.本小题分
阅读以下材料：
设为函数的导函数若在区间单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数．
平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中．
已知函数．
当时，讨论的凹凸性；
当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合；
已知函数，点在轴左侧且为的“切点”，写出点的集合不需要写出求解过程．
参考答案
1.
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14.
15.
证明：因为，所以，
又因为，所以，
数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，所以，
所以．

16.
因为，
由正弦定理，得
因为，则，所以，
由于，则；
因为为中点，故，
所以
．
所以的长为．

17.
解法一：在中，
因为，
由正弦定理，得，所以，
所以，
因为，所以，所以．
因为平面平面，所以，
又，平面
所以平面；
方法二：证明：设，在中，
因为，
由余弦定理，得，
所以，即，解得．
所以，所以．
因为平面平面，
所以，
又，平面
所以平面；
解法三：设，在中，
因为，
由余弦定理，得
所以，即，解得．
所以，所以．
因为平面平面，
所以平面平面；
又平面平面平面，
所以平面；
解法一：由知平面，
又平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
所以两两垂直．
以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，
设平面的法向量为，
则即取，则，
显然平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
解法二：由知平面，过作，则平面，
又平面，所以，
因为平面，
又平面，所以，
所以两两垂直．
以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，
设平面的法向量为，
则即取，则，
显然平面的一个法向量，
所以
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
解法三：延长交于点，连接，
则平面平面，
在中，

，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
因为平面平面，
所以，又，
所以平面，
又平面，所以，
所以为平面与平面的夹角，
因为平面平面，
所以，
因为，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

18.
由题意，得，解得
所以的方程为；
依题意可设点，且，
证明：因为点关于原点的对称点为，所以，
因为点在上，所以，所以，即，
因为直线的斜率为，直线的斜率为
所以，即为定值；
设弦的中点的坐标为，
点的坐标为的重心的坐标为，
由，得，
所以，且，
因为的重心在轴上，所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量相等，所以，且，
所以直线的方程为，
所以，
所以点，
又点在上，所以，
即
又因为，所以，所以直线的方程为．

19.
因为，
所以，
令，
所以．
当时，，令，解得；
令，解得；
故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
当时，令，解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
当时，，故为区间上的凸函数；．
当时，令，
解得，
令，解得或，
故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；
综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间
和上的凸函数；
当时，为区间上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间和
上的凸函数；
当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；
当时，，
故在点处的切线方程为．
设为的“切点”，
则关于的方程有三个不同的解，
即关于的方程有三个不同的解，
令，
所以直线与曲线恰有三个不同的交点．
．
当时，随变化情况如下：
减 极小值 增 极大值 减
故；
当时，单调递减，不符合题意；
当时，随变化情况如下：
减 极小值 增 极大值 减
故；
综上所述，点的集合为
或
点 集合为或或

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