河北省衡水市衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题（含答案）

河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知不等式的解集为，不等式的解集为，则为( )
A. B. C. D.
2.已知，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
7.已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知对恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则( )
A.
B. 圆的半径为
C. 函数的图象关于点成中心对称
D. 函数在上单调递增
11.已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，若，的面积等于则下列结论正确的是
A. 若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为
B. 若是动点，则的值恒为
C. 若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是
D. 若是动点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是第四象限角，且，则 ．
13.已知，若，，，则，，按从小到大排列为： ．
14.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为递增的等比数列，为数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
记为数列在区间中的所有项的和，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，．
求函数的最大值；
设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值．
17.本小题分
如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．
求抛物线的方程；
求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
若直线与函数的图象相切，求实数的值；
若函数有两个极值点和，且，证明：为自然对数的底数
19.本小题分
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且．
求；
若，求的最大值；
若，求实数的最小值．
参考答案
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14.
15.解：设公比为，由题意得，，
解得或舍去，
所以，故数列的通项公式为
由题意得，对应的区间为：，其中包含，则；
对应的区间为：，其中包含，则；
对应的区间为：，其中包含，，，则；
对应的区间为：，其中包含，，，，
则，
因此，
所以，
故．

16.解：
，
，，
当，即时，，
当，即时，，
当时，的最大值为；
由，得，
即，，
设，则当时，，，

，
设，
由题意，是当时，函数的值域的子集．
当，即时，函数在上单调递增，
则，解得；
当，即时，函数在上单调递减，
则，不等式组无解；
当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，
则函数的最大值是与的较大者，
令，得，
令，得，均不合题意，
综上所述，实数的值为．

17.解：设直线，，，
联立 ，得 ，
所以，．
又因为是中点，所以，
，
代入化简得，解得．
故抛物线的方程为．

，
因为
，
同理，
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．
18.解：，定义域为，
设切点，，
且，
解得，，
故实数的值为；
，定义域为，
，
因为有两个极值点和，
所以至少有两个不相等的正根，
令，，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
当时，取最大值，最大值为．
当，；
当，．
则至多两个零点，要使有两个零点，
必有，
，
联立方程，两式作差得，
令，
由得，
则，代入上式得，
，则，
故所证不等式转化为，，
只需证，即证：．
令，，
，
，
，
在上单调递增，
，其中，
故，，
即不等式得证．

19.解：因为，
所以，即，
由正弦定理得．
所以．

由知，所以的三个角都小于，
因为点为的费马点，所以．
由得：
，
整理得 ．
又因为，所以，当且仅当时等号成立．
所以，
所以的最大值为．
由知．
设，
由得．
由余弦定理得：
在中，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，
整理得．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，整理得，
解得或者舍去，
所以实数的最小值为．

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