广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考数学试题（含答案）

广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若四边形为正方形，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.神舟十二号载人飞船搭载名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为参考数据：
A. B. C. D.
7.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，前项和为，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列大小关系正确的是 ．
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象不可能关于点对称
C. 当时，函数在上单调递增
D. 若函数在上存在零点，则实数的取值范围是
11.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义运算则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
13.已知过原点的直线与交于，两点点在点左侧，过作轴的垂线与函数交于点，过点作轴的垂线与函数交于点，当平行于轴时，点的横坐标为 ．
14.已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别是，已知，．
求角的大小；
若的面积，设是的中点，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．

证明：；
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
设函数，满足：对任意，恒成立．
求函数的解析式．
设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上设矩形的面积为，求证：．
18.本小题分
已知函数是奇函数是自然对数的底
求实数的值；
若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
设，对任意实数，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性
Ⅱ若不等式恒成立，求的取值范围
Ⅲ当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．
参考答案
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14.
15.解：，结合余弦定理，
可得，整理得，
所以．
又，所以．
因为的面积，
所以，即，
解得．
在中，据余弦定理可得
，
故AC．
又是的中点，故，
所以，
故．
16.解：证明：连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则
取，可得，所以．
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，
所以，即，
故上存在点，当时，二面角的余弦值为

17.解：由得：，即；
由得：，恒成立，
即恒成立，
所以，所以，
所以，；
证明：因为，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，，
由知，
则，，
，
因为，所以，，
所以，
则，
所以．
18.解：因为是奇函数，且定义域为，所以，
即，解得经检验，此时是奇函数
所以．
由知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以．
由题意得：
不妨设，
以，，为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，
因为，仅当时前一个等号成立，
所以，即，于是的最大值为．

19.解：Ⅰ因为，，
所以，
当时，恒成立，所以；
当时，令，解得舍负，
令，得令，得．
综上所述：当时，在上单调递减
当时，在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立．
令，
则
．
令．
易知在上单调递减．
又，
所以当时，，．
当时，，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，即，
所以，即的取值范围为
Ⅲ当时，，．
则
令，，
则
当时，，所以在上单调递减．
又．
所以在上存在唯一的零点．
设在上的零点为，
可得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
．
因为，所以，
故．
又，所以．
又，
所以在上有一个零点．
又．
所以在上有一个零点．
当时，，
在上单调递减，，
所以在上没有零点．
当时，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以所以．
所以
而，，所以，
故F在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且仅有个零点．
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