山西省大同市2025届高三上学期开学质量检测联考数学试题（含答案）

山西省大同市2025届高三上学期开学质量检测联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，若复数与在复平面内对应的点关于原点对称，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与方向相同，则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为的四位数称为“幸运数”如是“幸运数”，并获得一定的奖品，则首位数字为的“幸运数”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象恒过某个定点
B. 在上单调递减，在上单调递增
C. 图象上存在两个不同的点关于轴对称
D. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是
10.记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是( )
A. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”．
B. 若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差．
C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”．
D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比．
11.已知正方体的棱长为，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是( )
A. 若，则平面平面
B. 若，则与所成角的取值范围为
C. 若，则平面
D. 若，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.中国跳水队素有“梦之队”称号，在刚刚结束的巴黎奥运会上，中国跳水队取得了优异的成绩其中单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为，位裁判给他打出的分数分别为、、、、、、，则这个数据的方差为 ，该运动员本轮比赛的得分为 ．
13.已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ．
14.已知定义在的函数满足对任意的正数，都有，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求函数的解析式；
若对于区间上任意两个自变量的值，，有，求实数的最小值．
16.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
若，求的面积；
若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，，，，，．

证明：；
若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．

若是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；
若，求的取值范围；
连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，是否存在斜率为定值的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：常规时间分上、下半场，每个半场各分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；如果在常规时间内两队战平，则双方各派名队员进行轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．
假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；
点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛如甲方领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．
(ⅰ)记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；
(ⅱ)求甲队在点球大战中获胜的概率．
参考答案
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15.解：
，根据题意，得即
解得，故．
令，解得或，
当时，；当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，
，
因为对于区间上任意两个自变量的值，
都有
所以，所以的最小值为．

16.解：
因为，由正弦定理可得，故，
又，故，
因为，而为三角形内角，故，
所以．
在中，由；
在中，由；

而，所以，
故，
而是锐角三角形，故，即
故，
故即．

17.解：证明：设是的中点，连接，由于，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于，所以，所以，
所以，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
由于平面，且直线与直线相交，
所以平面，而平面，故．
过作，垂足为，过作，垂足为，
则四边形是矩形，，
所以，
依题意，，
由于平面，平面，所以，
则两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系．
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，则

18.解：由，，，
解得，，
因此“果圆”的方程为，；
因为，故，得，
而，即，
于是，，，
又，则，的取值范围是
我们先证明一个结论：
若斜率为的直线与椭圆交于两点，则、中点在同一条直线．
证明：设，它们的中点为，
则且，
从而，故，
故，故A、中点在直线上

对于“果园”的弦的中点，
若斜率，则设直线，
它与“果圆”的交点是，，
弦的中点满足
弦的中点轨迹方程是，
而，
即，所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为，则平行弦中点轨迹是椭圆，
若“果圆”弦的斜率，则可平移过程总存在无数条斜率为的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前述证明的结论，此时中点在直线上，
故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上．
综上，斜率时，“果圆”平行弦中点轨迹落在某个椭圆上；
斜率时，“果圆”平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上．

19.解：
设为“甲进入下一轮”，为“甲乙两队抽签”，
则，，
故．
可取，
当时，共进行轮点球，
若甲赢，则轮点球甲均进球，而乙点球均未进；
若乙赢，则轮点球乙均进球，而甲点球均未进；
故，
当时，共进行轮点球，且第轮甲踢点球结束比赛，
若甲赢，则轮点球甲踢进个球，而乙点均未进，或者甲踢进个点球，而乙踢进一个点球；
若乙赢，则前两轮乙踢进个球，而甲点球均未进；
故
，
当时，则前次点球中甲乙的比分为，
故
故的分布列如下：
．
(ⅱ)设为：“甲队在点球大战中获胜”，
由(ⅰ)可得：
．

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