安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题（含答案）

安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知平面向量、满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级名女生和名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，则它是次品的概率( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程有且仅有个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )
A. B. C. D.
8.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题譬如：已知，求的最大值我们令，，则这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题已知是曲线上的点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 四棱锥的体积为
C. 两条异面直线和所成的角为
D. 二面角的平面角的余弦值为
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“”对应着数学曲线中的双纽线在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则
13.椭圆：的左右焦点分别为、，点为其上的动点当为钝角时，点的横坐标的取值范围是
14.“算”游戏是以除去大小王的张扑克牌为载体，任意抽取张，把扑克牌对应的个整数通过加减乘除没有乘方开方以及括号运算，使最后的运算结果是的一个数学游戏因为和扑克牌的花色无关，所以游戏可以看作在集合中每次任选个数，选次得到个整数，记为数组，因为算和选取个数的顺序无关，可以假设，比如，显然游戏不同的牌组就对应不同的数组，那么所有不同的数组一共有 个如果数组为，写出一个结果为的算式 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，面积为，且．
求；
若，，为边的中点，求的长．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，是的中点，．
证明：平面；
若点是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
17.本小题分
高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分分，每小题有个选项，其中只有个或者个选项是正确的若正确选项有个，则选对其中个得分；若正确选项有个，则选对其中个得分，选对其中个得分，答案中有错误选项的得分设一套数学试卷的多项选择题中有个选项正确的概率为，有个选项正确的概率为在一次模拟考试中：
小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择个作为答案，若小明该题得分的数学期望为，求；
小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择小明有三种方案：只选A不再选择其他答案；从另外三个选项中再随机选择个共选个；从另外三个选项中再随机选择个，共选个若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且经过点．
求的方程；
若直线与交于，两点，且点为坐标原点，求的取值范围．
19.本小题分
给出以下三个材料：
若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的阶导数，记作，；
若，定义；
若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式．
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
求出在点处的泰勒展开式；
用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后位；
现已知，试求的值．
参考答案
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15. 解：由三角形面积公式及条件可知：，
由余弦定理知，
所以，
因为，所以；
结合的结论，根据余弦定理有，
所以，易知，
所以，
即．

16. 解：取的中点，连接，与交于点，
在底面矩形中，易知，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
易知，所以，
由题意可知，
所以，而相交，且平面，
所以平面；

由上可知，，，
以点为坐标原点，以、、分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设，其中，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，
解得，即．

17. 解：根据题意可知，，
若该题有个选项正确，则，，
若该题有个选项正确，则，
则分布列如下：
所以，
解之得；
不妨记一道多选题“有个选项正确”为事件，
“有个选项正确”为事件，
若小明选择方案，
记小明该题得分为，则的可能取值为，，对应概率为：
，，
故；
若小明选择方案，
记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为：
，
，
，
故，
若小明选择方案，
记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为：
，
，
故，
，
故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案．

18. 解：由题意可得
解得，，
故双曲线方程为．
当直线斜率不存在时，可设，，
则，，
将其代入双曲线方程得，
又，解得，
此时，
当直线斜率存在时，设其方程为，设，，
联立方程，消去得，
，
故
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，
当时，此时，
，
，
故，
因此，
综上可得．

19. 解：，，，，
所以，，，，
由，
所以；
由可得．
因为
，
对，
两边求导可得：，
所以，
所以，
比较中的系数，可得：
，
所以．

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