吉林省吉林市吉林省实验中学2025届高三上学期开学学业诊断考试数学试题（含答案）

吉林省实验中学2025届高三上学期开学学业诊断考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 若，则
C. 的单调减区间为
D. 是的必要不充分条件
3.已知向量，的 夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
5.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为( )
A. B. C. D.
6.平均数中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是( )
A. 如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多
B. 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息
C. 对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数
D. 如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数
7.已知有唯一的零点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是( )
A. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的
B. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的
C. 各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
D. 各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
10.已知抛物线的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为和，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的准线方程为
C. 圆的标准方程为
D. 若过点，且与直线为坐标原点平行的直线与圆相交于，两点，则
11.已知是函数的极值点，若，则下列结论正确的是( )
A. 的对称中心为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中，，则 ．
13. 在中，若，则的值是 ．
14.给如图所示的号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻即没有公共边的格子进行涂色，当号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
求证：平面平面；
当为的一个三等分点，即时，求四面体的体积；
当为中点时，求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
18.本小题分
在分制乒乓球比赛中，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束，且．
求 的值；
求再打个球甲新增得分 的分布列和均值；
记事件“，且甲获胜”的概率为，求．
19.本小题分
已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
求双曲线的标准方程；
设，是双曲线上不同的两点，是的中点，直线、的斜率分别为，证明：为定值；
直线与双曲线的右支交于点在的上方，过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为的直线与双曲线交于点在的上方，再过点分别作的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点证明：共线．
参考答案
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15.解：，
由正弦定理得：，
整理得：，
在中，，
，
即，
，
即；
由余弦定理得：，
，
，
，
，
，
的周长为．

16.解：底面是正方形，
，
平面，平面，
，又平面，
平面，又平面，
平面平面．
因为，
所以，故，
又，
所以，
又平面，底面是正方形，，
所以，
所以，
所以四面体的体积为．
平面，平面，
所以，又，
所以两两垂直，
以坐标原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
解得，令得，
故为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，解得，令得，
故为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则
又，
所以平面与平面夹角为．

17.解：当 时，， ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
， ，
当 时， ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
只有极大值 ，不合题意；
当 时，
若 ，即 ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
若 ， ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
若 ，即 ，
由 在 上恒成立，得 在 单调递增，
所以 无极值，不合题意，
综上所述， 的取值范围为

18.解：由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，解得．
的可能取值为，，，
的分布列为：，
，
，
所以．
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得分，
最后第个球均为甲得分；
且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，
且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得分，
最后第个球均为甲得分．
按照甲先发球，甲、乙各得分的概率为，
所以，且，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．

19.解：
因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，
所以，解得，则双曲线的标准方程为；
证明：设，，
因为，为双曲线上的两点，所以
两式相减得，整理得，
则，得证；
证明：设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得或舍
由根与系数的关系得，
直线的方程为，
因为，即，
直线的方程为，
因为，即，
联立，两式相加得，两式相减得，
因为，
则，，
所以，
则都在直线上，故共线．

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