广东省部分学校2025届高三上学期8月摸底测试数学试题（含答案）

广东省部分学校2025届高三上学期8月摸底测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知等边三角形的边长为，那么( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，为异面直线，平面，平面若直线满足，，，，则( )
A. ， B. 与相交，且交线平行于
C. ， D. 与相交，且交线垂直于
5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”“群里”的人彼此不一定是“好友”关系共同交流如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个人的“群”，其中一人在平台上发了一条信息，“群”里有人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的极大值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线，圆点为其圆心，直线自上而下顺次与上述两曲线交于、、、四点，则下列各式结果为定值的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，对任意的，，均有，已知，为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，设直线、的斜率分别为、，下列说法正确的是( )
A. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B. 当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C. 当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D. 当时，点的轨迹是椭圆的一部分
10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数图象的对称轴方程为
C. 若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为
D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为
11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值，，，，，如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的三个内角分别为，，，若，，成等差数列，则角的取值范围是 ．
13.中国传世数学著作九章算术卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式例如在推导正四棱台古人称方台体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解下图为俯视图，图为立体切面图对应的是正四棱台中间位置的长方体，，，，对应四个三棱柱，，，，对应四个四棱锥若这四个三棱柱的体积之和为，四个四棱锥的体积之和为，则该正四棱台的体积为 ．
14.袋中装有个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是现从该袋中任意摸出个球，记得到白球的个数为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，为的三个内角，向量与共线，且．
求角；
求函数的值域．
16.本小题分
如图，已知四边形和四边形都是边长为的正方形，且它们所在的平面互相垂直、两点分别在正方形对角线和上移动，且
当、分别为、的中点时，求证：平面
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数小于的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线
利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程
我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明若没有，则说明理由．
18.(本小题12分)
立德中学为了解全校学生体能达标的情况,从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加体能达标测试,并且规定体能达标测试成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”,否则该年级体能达标为“不合格”,需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组,其中甲组有24名学生,乙组有16名学生.经过测试后,两组各自将测试成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.(数据的最后结果都精确到整数)
(1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s(结果保留整数);
(2)假设高三学生的体能达标测试成绩服从正态分布N(,),用样本平均数作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计,高三学生体能达标测试是否“合格”;
(3)为增强趣味性,在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下:以4:0或4:1结束,获胜队员积4分,落败队员积0分;以4:2或4:3结束,获胜队员积3分,落败队员积1分.假设体育特长生小强每局比赛获胜的概率均为,求小强在一场挑战赛中所得积分为3分的条件下,他前3局比赛都获胜的概率.
附:n个数的方差=;
若随机变量Z~N(,),则P(-< Z<+)=0.6826,P(-2< Z<+2)=0.9544,P(-3< Z<+3)=0.9974.
19.本小题分
对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”
若函数是“同比不减函数”，求的取值范围
是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题设知：，
，
，
又为三角形内角，所以，
由知为锐角，
；
由及题设知：，
所以：
，
又，
，
，
，
因此函数的值域为．
16.解：如图，连接，，
、分别为、的中点，
是中点，
，
又平面，平面．
平面．
如图，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ， ．
，
；
当 时， 最小，最小值为 ；此时 ， 为中点时， 最短，
则 ，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
， ， ， ，
是平面与平面所成二面角，
设平面与平面的夹角为，
， ，
．
平面与平面夹角的余弦值是 ．

17.解：证明：对于，有，注意到，
则函数的反函数为其本身．
故关于直线对称，
同时又因与垂直，
故反比例函数的两条对称轴分别为，
则若其符合双曲线的定义，其焦点一定在上．
而与双曲线的两个交点，是双曲线的两个顶点．
则实轴长，两焦点坐标为，
设点在函数的图象上，则，即，
当时，，当且仅当时取等号，
所以
．
当时，从而，当且仅当时，取等号，
同理，有．
因此，无论点在第一象限或者在第三象限，
均有小于．
所以函数的图象是双曲线．
函数的图象是以，为两焦点，
实轴长的双曲线，两渐近线方程分别为和．
因为与是双曲线的两条渐近线，有．
类似地：双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数．
证明：设是双曲线上任意一点，
则有．
双曲线的渐近线方程为．
于是点到双曲线的两条渐近线的距离之积为结论成立．

18.解：(1)由题意可得，这40名学生测试成绩的平均分=（70×24+80×16）=74，
故这40名学生测试成绩的平均分74，
由公式s2=（xi-）2=[（x12+x22+…+xn2）-n2]，
设甲组学生的测试成绩分别为x1，x2，…，x24，
设乙组学生的测试成绩分别为x25，x26，…，x40，
则甲组的方差为s12=[（x12+x22+…+x242）-24×702]=42，
则（x12+x22+…+x242）=24（16+702）
则乙组的方差为s 22=[（x252+x262+…+x402）-16×802]=62，
则（x252+x262+…+x402）=16（36+802），
则这40名学生的方差为s2=[（x12+x22+…+x242）+（x252+x262+…+x402）-40×742]
=[24（16+702）+16（36+802）-40×742]=48，
所以s==4≈7，
故这40名学生测试成绩的标准差为7；
(2)由＝74，s≈7，得μ的估计值＝74，σ的估计值＝7.
P(μ－2σ< X<μ＋2σ)＝P(60< X<88)＝0.9544，
∴P(X<60)＝P(X≥88)＝＝0.0228，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有1000×0.0228≈23(人)，
又<＝5%，所以高三年级学生体能达标为“合格”.
(3)设小强在这轮比赛得3分为事件A，他以4∶2的比分获胜为事件A1，他以4∶3的比分获胜为事件A2.
则P(A1)＝C＝，
P(A2)＝C＝；
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝，
设小强前3局比赛获胜的事件为B，
则P(AB)＝＋＝；
所以P(B|A)＝＝＝.
19.解：任意正常数，存在，
，
即存在，对任意正常数，都有成立，
即不恒成立，
对任意正常数，都不是“同比不减函数“；
函数是“同比不减函数”，
恒成立，
，
，
，故的范围是
图象如图所示，
由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，
．
第1页，共1页