2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素数量是( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则当的面积最大时，的取值为( )
A. B. C. D.
4.已知边长为的正方体与一个球相交，球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知的二项式系数之和为，则的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知对恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.克拉丽丝有一枚不对称的硬币每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有次正面向上但她没有留意自己一共掷了多少次硬币设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算若有多个使最大，则取其中的最小值下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与的大小无法确定
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，为靠近的四等分点，为线段上一动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B.
C. 的最小值为
D. 若，则
10.设定义域为的单调递增函数满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B.
C. 不等式的解集为
D. 若使得时，恒成立，则的最小值为
11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线对于小恐龙曲线，下列说法正确的是( )
A. 该曲线与最多存在个交点
B. 如果曲线如题图所示轴向右为正方向，轴向上为正方向，则
C. 存在一个，使得这条曲线是偶函数的图像
D. 时，该曲线中的部分可以表示为关于的某一函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了位同学获得某角色的抽取次数，结果如下：，，，，，，则以上数据的下四分位数为______．
13.已知正四面体棱长为，棱上有一点，棱上有一点，棱上有一点若，则的最大值为______．
14.设函数的极小值点为，若的图象上不存在关于直线对称的两点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的取值范围；
求最大时，的面积．
16.本小题分
已知双曲线：，圆：，其中圆与双曲线有且仅有两个交点，，线段的中点为．
记直线的斜率为，直线的斜率为，求．
当直线的斜率为时，求点坐标．
17.本小题分
浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取次每次都有的概率抽中，的概率没抽中小明的抽奖得分按照如下方式计算：
将玩家次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作，未抽中记作，形成一个长度为的仅有的序列．
定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的，设它长度为，那么得分即为．
序列的得分即为每一段连续的的得分和．
例如：如果玩家抽了次，第，，，，次中奖，那么序列即为，，，，，，，得分为可能用到的公式：若，为两个随机变量，则．
若，清照进行了一次游戏记随机变量为清照的最终得分，求．
记随机变量表示长度为的序列中从最后一个数从后往前极长连续的的长度，求．
若，清照进行了一次游戏记随机变量为清照的最终得分，求．
18.本小题分
定义：表示的整数部分，表示的小数部分，例如，数列满足其中若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数．
分别写出当时，，，的值．
证明：是木来数．
若为大于的有理数且求证：为木来数．
19.本小题分
称代数系统为一个有限群，如果：
为一个有限集合，为定义在上的运算不必交换，，，
，，，
，，，称为的单位元
，存在唯一元素使，称为的逆元有限群，称为的子群若，定义运算．
设为有限群的子群，，为中的元素求证：
当且仅当；
与元素个数相同．
设为任一质数上的乘法定义为，其中为不大于的最小整数已知构成一个群，求证：，其中表示个作运算
参考答案
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15.解：由“三角形的两边之和大于第三边”，可知，，．
根据，整理得，结合，得，，．
解得，所以，边的取值范围是；
由余弦定理得，
当且仅当，即时，等号成立，结合可知最小时，，．
因为，余弦函数在上是减函数，
所以的最大值为，此时．
16.解：由题意如图所示：
因为，，线段的中点为，
所以，
又设，，
因为，
所以，
而圆心不在坐标轴上，从而，，
所以，
所以，
又，
所以；
设直线：，与联立，
化简并整理得：，
其中，
设，，
所以，
即点坐标为，
因为，，
所以，
而，
即，解得．
所以．
17.解：若序列为：，，，则最终得分为，
若序列为：，，，或，，，或，，，则最终得分为，
若序列为：，，，则最终得分为，
若序列为：，，，或，，，则最终得分为，
若序列为：，，，则最终得分为，
，，，
所以；
令表示长度为的序列，的答案，换言之，
则有递推关系，表示第位分别为或的答案，
显然，
设，
则，
所以，
解得，
所以，
解得，
故所求为；
设表示进行次游戏后的期望得分，即，
则有递推关系，
解释：因为，考虑第位为的时候对序列的额外贡献，
即为，如果为的贡献即为，特别的，，
直接累加得到：，
若，代入上式，于是得，
故所求即为．
18.解：当时，，同理，
当时，，同理，；
证明：当时，即，则，
由于，所以，
所以，则，所以，
由于，所以，
则，
由此知对，恒成立．
可知当时，为木来数；
证明：设且，互质，
可知与均不为整数时，有，
显然，
且此时为正整数，又，互质，则，
故，
下面用反证法说明数列中存在整数．
由为有理数可知，也为有理数．
则，推出，与假设矛盾．
因此为木来数．
19.证明：如果，则，，，
从而．
另一方面，如果，
则有，，，
即，从而，
即，
从而，
反之由得到，
类似讨论得中的元素也全都属于，证毕；
我们首先构造一个到的满射，
这直接由的定义得到，
另一方面，我们证明这个映射同时也是单射，
事实上，若对，，，
两边左乘，
则有，从而两集合间有一一映射，
故元素个数相等；
我们有如下断言：，，
假设是使得的最小正整数，
则，，，，，其中表示个作．运算在运算下构成的一个子群，
记作，
而由的结论可知，这一集族中的集合有相同的元素个数，
且两两不交若有两个集合，相交，则推得，
由得两集合相同从而它们构成的一个划分，从而有，，
因而．
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