2024-2025学年河北省邯郸市永年二中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市永年二中高三（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象如图所示，则可以为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是( )
A. B. C. D.
6.设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B.
C. D.
8.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
9.设，其中为的共轭复数，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部是
C. D. 在复平面内，对应的点在第二象限
10.下列论述正确的有( )
A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 若随机变量，且，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
11.已知函数，则( )
A. 有三个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间是______．
13.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在道四选一的单选题中，有道有思路，有道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案若从这道题中任选题作答，则该同学道题都做对的概率为______．
14.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知函数与函数，其中．
求的单调区间；
若，求的取值范围．
16.（15分）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在单位：分钟的名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如图的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有名学生．
求，的值；
若从样本中体育锻炼时间在的学生中随机抽取人，设表示在的人数，求的分布列和均值．
17.（15分）如图，在三棱柱中，为底面的重心，点，分别在棱，上，且：：：
求证：平面；
若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.（17分）已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程．
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19.（17分）已知函数．
若当且仅当，求的值．
若，且，求的最小值；
证明：曲线是中心对称图形．
参考答案
1.
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14.
15.解：的定义域为，
又已知，，
令，得，即的单调减区间为，
令，则，即的单调增区间为；
由题意得，即，
若，不等式恒成立，若，即，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，故的取值范围为．
16.解：因为体育锻炼时间在的频率为，
所以，
又因为，
所以；
样本中体育锻炼时间在的有名学生，在的有名学生，
则，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
17.证明：如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接，
因为为底面的重心，所以：：，
又：：，
所以：：，所以，
所以：：，
因为：：，所以：：，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：取的中点为，连接，
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，可取，
由题意，为正三角形，为其重心，则有，
又底面，故AA，
又，故平面，
即平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：当时，，所以，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
，
由得，
的图象有个交点，
令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
且时，，，
所以时，，所以的大致图象如下，
所以若函数有两个零点，
则，
所以实数的取值范围为．
19.解：因为，
所以，解得，
所以的定义域为，
当且仅当，
由于的图象是连续的，
故为的一个解，
所以即；
时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为．
证明：的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，
故，
而
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为．
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