2024-2025学年江苏省扬州大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州大学附中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D. 或
2.若，是第二象限角，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则为( )
A. B. C. D.
4.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.曲线上的点到直线的最短距离是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若是上的增函数，则
B. 当时，函数有两个极值
C. 当时，函数有三个零点
D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
11.已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当时，求的最小值为______．
13.已知函数是定义在上的的奇函数，满足，当时，，则的值为______．
14.设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求函数在区间上的最小值．
16.本小题分
已知，，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
求证：平面平面；
若，求直线与面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性；
设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
设函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得对任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，判断是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：易知的定义域为，
可得，
因为函数在处取值得极值，
所以，
解得，
此时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，
则；
由知，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值．
16.解：因为，
所以．
因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
又，
所以由，
解得，
所以，
又，，
故，
所以．
17.解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
同理可得，，
因为，所以，
所以平面平面．
由知，，
因为，所以，
所以，解得，
故，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，．
18.解：由题意可知：的定义域为，
且，
当时，恒成立，则在上单调递减，
当时，令，解得，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
当时，由可知在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
因为不等式对恒成立，所以，
设，
则的定义域为，且恒成立，
可知：在上单调递增，
因为，所以，
即，可得，即．
综上所述：的取值范围是．
19.解：是，理由如下：
由题意可得：函数的定义域为，
对，则，
可得，即，
故为区间上的增长函数．
函数的定义域为，
对，则，
若是区间上的增长函数，则，即，
可得对恒成立，可得，解得，
故正整数的最小值为．
由题意可得：当时，则，
故，
若为上的增长函数，则对恒成立，
在上单调递减，则，不能同在区间内，
，
又当时，，当时，，
若时，令，则，故，不合题意；
，解得，
若，则有：
当时，则成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，即成立；
综上所述：当时，对均有成立，
故实数的取值范围为．
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