2024-2025学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知下列四个命题：
命题“”的否定是“”；
若为锐角三角形，则；
若，则是函数的极值点；
命题：若，则；命题：若，则；可知“或”为真命题．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，求( )
A. B. C. D.
5.克拉丽丝有一枚不对称的硬币每次掷出后正面向上的概率为，她掷了次硬币，最终有次正面向上但她没有留意自己一共掷了多少次硬币设随机变量表示每掷次硬币中正面向上的次数，现以使最大的值估计的取值并计算若有多个使最大，则取其中的最小值下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 与的大小无法确定
6.已知函数，，则下列结论错误的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 存在，使得函数为奇函数
C. 任意，
D. 函数有且仅有个零点
7.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，连接，A.若为坐标原点，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 已知，则
D. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为
10.已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D. 面积的最大值为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，是上异于，的一个动点若，则下列说法正确的有( )
A. 椭圆的离心率为
B. 若，则
C. 直线的斜率与直线的斜率之积等于
D. 符合条件的点有且仅有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的取值范围是______．
13.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线某外卖小哥每天来往于个外卖店外卖店的编号分别为，，，，约定：每天他首先从号外卖店取单，叫做第次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第次取单，依此类推假设从第次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从号店取单，是事件发生的概率，显然，，则 ______．
14.已知函数在定义域上为偶函数，并且时，，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在；；设的面积为，且这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并加以解答．
在中，角，，的对边分别为，，，已知_____，且．
若，求的面积；
若为锐角三角形，求的取值范围如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
16.本小题分
某网游经销商在甲地区个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线测试，得到数据如表：
电信
网通
如果在测试中掉线次数超过次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的个地区中任选个作为游戏推广，求、两个地区同时选到的概率；
在的条件下，以表示选中的掉线次数超过个的位置的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
参考公式：．
17.本小题分
在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．
证明：侧面平面；
若，且与平面之间的距离为，求二面角的正切值．
18.本小题分
在平面上，我们把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，、为该曲线的两个焦点已知曲线：是一条伯努利双纽线．
求曲线的焦点、的坐标；
判断曲线上是否存在两个不同的点、异于坐标原点，使得以为直径的圆过坐标原点如果存在，求点、坐标；如果不存在，请说明理由．
19.本小题分
自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为它是自然对数的底数有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰纳皮尔引进对数它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是设数列的通项公式为，，
写出数列的前三项，，．
证明：．
参考答案
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15.解：选，由题意利用正弦定理得，
由余弦定理可得，
可得，
所以，
因为，
故B，
又，，
由余弦定理可得，
解得，
所以的面积；
选，因为，
所以
，
因为，，
所以，，
所以，
所以，
因为，
故B，
又，，
由余弦定理可得，
解得，
所以的面积；
选，设的面积为，由题意可得，
所以，
所以，
因为，
故B，
又，，
由余弦定理可得，
解得，
所以的面积；
由可知，，
因为，可得，，
所以
，
因为为锐角三角形，，
所以，，
解得，
所以，可得，
所以，
所以的取值范围是．
16.解：根据题意列出列联表如下：
位置
类型 糟糕 良好 合计
电信
网通
合计
，故在犯错误的概率不超过的前提下，不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关．
依题意，所求概率．
随机变量的所有可能取值为，，，；；．
故的分布列为
．
17.解：证明：是异面直线与的公垂线，
，，
又是等边三角形，是的中点，，
平面，
又平面，，
平面，
又平面，
平面平面；
，四边形是平行四边形，
，且，
由知平面，
线段的长为直线与平面的距离，即，
在平面内，过作直线于，连，
则，为二面角的平面角，
，，
，，
，
故所求二面角的正切值为．

18.解：设焦点，，
曲线：与轴正半轴交于点，
由题意知，
于是，，
因比；
假设曲线上存在两点，，使得以为直径的圆过坐标原点，即，
由题意知直线，斜率均存在，
不妨设直线的方程为，直线的方程为，
将直线的方程与曲线联立，得，
即．
解得，同理，
因此不可能成立，于是假设不成立，
即曲线上不存在两点，，使得以为直径的圆过坐标原点．

19.解：由通项公式得，
；；．
由二项式定理得，
，
所以是上的单调递增数列，
因为，则；
又
，
综上可知，．
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