2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高三（上）学情检测数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高三（上）学情检测数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，，若为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值已知某校学生的血压差服从正态分布，若，则随机变量的第百分位数的估计值为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称
C. 函数是奇函数 D. 在区间上的值域为
5.已知数列满足，，，若为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
6.已知点引圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，若为等边三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”如图所示当椭圆方程为时，蒙日圆方程为已知长方形的四边均与椭圆相
切，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 若为正方形，则的边长为
C. 椭圆的蒙日圆方程为
D. 长方形的面积的最大值为
9.现有甲、乙两个盒子，甲盒装有个白球个红球，乙盒装有个白球个红球，则下列说法正确的是( )
A. 甲盒中一次取出个球，至少取到一个红球的概率是
B. 乙盒有放回地取次球，每次取一个，取到个白球和个红球的概率是
C. 甲盒不放回地取次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是
D. 甲盒不放回地多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的概率是
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 到直线的距离为
D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 ______．
12.在边长为的菱形中，，分别为，的中点，，则 ．
13.如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向正、反方向均可移动一步；要么以的概率沿平行于方向正、反方向均可移动一步设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
若，求的值；
若，求的面积．
15.本小题分
记递增的等差数列的前项和为，已知，且．
Ⅰ求和；
Ⅱ设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
证明：直线平面；
点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的离心率为，右顶点为，为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点．
求的方程；
证明：直线恒过定点；
若直线与，轴分别交于点，，且为中点，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若的极大值为，求的取值范围；
若，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：因为，，所以，
由正弦定理可得；
因为，
由余弦定理
因为，所以，
再由余弦定理，可得，解得，
所以．
15.解：Ⅰ设数列的公差为，
因为，所以，
由得，，
所以，解得，
所以，
所以，．
Ⅱ由Ⅰ得，，
所以．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，
所以，，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，
可得，
又平面，平面，
直线平面；
如图所示，取中点，连接，，
由于为正三角形，则，
因为侧面底面，平面平面，侧面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，且，
所以四边形是矩形，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，．
又因为为直角三角形，，
所以．
作，垂足为，连接，
因为，所以，
又平面，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，即．
设，因为，
所以，．
因为，所以，
即，解得，
所以，，
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，即
可取，则，
又平面的法向量可令，
所以．
因为二面角是锐二面角，
所以其余弦值为．
17.解：由题右顶点，则，
又，解得，则，
所以双曲线的方程为：；
证明：由题，直线的斜率不为，
则可设直线：，，，
联立方程 ，消去得，
则，即，则，，
因为以为直径的圆经过点，
所以，即，
所以，
即，化简得，
则，
当时，直线，经过点，不符条件，舍去，
所以，直线，过定点，
所以直线恒过定点；
由知，，
所以，，
在直线中，令，则，即，
又为中点，
所以，代入，解得：，
所以，解得：，
所以，
即．
18.解：当时，．
则，即曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程是；
若，则对有，对有．
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，不满足条件；
若，则对有，对有．
从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件；
若，则对有，从而在上递增，故没有极大值，不满足条件；
若，则对有，对有，
所以在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件．
综上，的取值范围是；
证明：由于，，所以存在正数使得，从而．
我们有．
故命题等价于证明．
由于和始终不异号，故，而，故只需证明．
设，则．
而对有，对有．
故在上递减，在上递增．
所以．
这就得到了，证毕．
第1页，共1页