2023-2024学年北师大版数学九年级上册 2.2配方法 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 配方法(2)
九年级上册数学（北师版）
复习导入
上节课我们学习了配方法解一元二次方程的基本步骤:
例如， x2 - 6x–40 = 0
移项，得 x2 - 6x = 40
方程两边都加上 32 （一次项系数一半的平方），得
x2 - 6x + 32 = 40 + 32
即 (x-3)2 = 49
开平方，得 x - 3 = ±7
即 x - 3 = 7 或 x - 3 = -7
所以 x1 = 10，x2 = -4
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1. x2+2x+________= (x +______)2
抢答！
12
1
2. x2-4x+________ = (x -______)2
22
2
3. x2+________+36 = (x +______)2
12x
6
4. x2 + 10x +________= (x +______)2
52
5
5. x2-x+________= (x-______)2
(1) 9x2 = 1 ；
(2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 + 6x + 9 = 5；
(2) x2 + 3x - 4 = 0.
把两题转化成
(x + m)2 = n(n≥0)的
形式，再利用开平方
复习导入
探究新知
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别：
x2 + 6x + 8 = 0
3x2 + 18x + 24 = 0
如果一元二次方程的系数不是 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？
在方程的两边同时除以二次项系数
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8，
配方，得 (x + 3)2 = 1.
开平方，得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 ， x2 = -4.
想一想怎么来解3x2 + 8x - 3 = 0.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1
探究新知
例2 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
配方，得
由此可得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2 - 3x = -1.
即
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢
例1 解下列方程：
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，
∴ x 取任何实数时，上式都不成立．
∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
为什么方程两边都加 12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为 1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方式；
④开方（降次）；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + m)2 = n.
①当 n＞0 时，则 ，方程的两个根为
②当 n = 0 时，则(x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.
③当 n＜0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
归纳总结
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：
h = 15t - 5t2.
小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10.
两边同时除以 -5，得 t2 - 3t = -2.
配方，得 t2 - 3t + = - 2.
配方法的应用
2
即
移项，得 =
两边开平方，得 t - = 或 t - = .
所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
请你描述一下，在做一做中 t 有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？
做一做
t = 1 时，小球向上运动，
t = 2 时，小球向下运动。
例2 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式
k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
= (k－2)2＋1
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1.
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且
试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得
所以，△ABC 为直角三角形.
由非负式的性质可知
即
所以
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2
2. 利用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值；(2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
C
解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，当 x = 1 时有最小值 3.
(2) -3x2 + 5x + 1 = -3 + ，当 x = 时有最大值 .
练一练
配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或证
代数式的值恒正（或负）
将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
2.完全平方式中的配方
如：已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16，即 m2 = 16，m = ±4.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为 0，再根据非负式大于等于 0，则各式均为 0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4 = 0，即 a2＋(b－2)2 = 0，则 a = 0，b = 2.
归纳总结
例4 读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
解：设个位数字为 x，则十位数字为 (x - 3).
x1 = 6，x2 = 5
x2 - 11x = -30
x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52
(x - 5.5)2 = 0.25
x - 5.5 = 0.5 或 x - 5.5 = -0.5
依题列方程 x2 = 10(x - 3) + x
∴这个两位数为 36 或 25.
∴周瑜去世的年龄为 36 岁.
∵周瑜 30 岁还攻打过东吴，
1.解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
∴此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
∴ x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3 = 0，
(x + 1)2 = 4.
∴x1 = -3，x2 = 1.
课堂练习
2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2 x 1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解： x2 x 1 = ( x2 + x + )+ 1
∴ x2 x 1 的值总是负数.
当 时， x2 x 1有最大值
3.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
解得
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
4. 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足等式
，试判断△ABC 的形状.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
∴ △ABC 为等边三角形.
配方法
定义
步骤
一 移常数项且二次项系数化为 1；
二 配方[配上 ]；
三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四 开平方解方程
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式.
在方程两边都配上
当堂小结
达标检测
【选自教材P39 随堂练习】
（1）3x2 -9x + 2 = 0；
解下列方程：
解：两边同时除以 3，得
配方，得
移项，得
两边开平方，得
【选自教材P39 随堂练习】
（2）2x2 + 6 = 7x；
解下列方程：
解：两边同时除以 2，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
（3）4x2 -8x - 3 = 0.
【选自教材P39 随堂练习】
解下列方程：
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（1）6x2 - 7x + 1= 0；
解：两边同时除以 6，得
配方，得
移项，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（2）5x2 –18 = 9x ；
解：两边同时除以 5，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（3）4x2 –3x = 52 ；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
2. 解下列方程：
【选自教材P40 习题2.4 第1题】
（4）5x2 = 4–2x .
解：两边同时除以 5，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
3. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，
高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林
里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数
有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
【选自教材P40 习题2.4 第2题】
解: 设共有猴子 x 只．
得 x1＝16，x2＝48．
所以，共有猴 16 只或 48 只．
如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？
【选自教材P40 习题2.4 第3题】
解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
(16－3t－2t)2 ＝ 102－62．
所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
如果一元二次方程的系数不是 1 ，要先在方程的两边同时除以二次项系数，然后再进行配方。