广西壮族自治区“贵百河—武鸣高中”2025届高三上学期9月摸底考试数学试题（含答案）

广西壮族自治区“贵百河—武鸣高中”2025届高三上学期摸底考试
数学试题（9月）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，，复数的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间，并进行初步处理，得到频率分布表如下表示通行时间，单位为分钟：
通行时间
频率
该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．唐先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种．如果唐先生选择骑自行车，当天上班的通行时间为分钟．将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，对唐先生上班通行时间的判断，以下正确的是
A. 开小车出行的通行时间的中位数为分钟
B. 开小车出行两天的总通行时间少于分钟的概率为
C. 选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费分钟
D. 若选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为分钟
5.若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 函数在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
10.已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有( )
A.
B. 函数有三个零点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作两条直线与的图象相切
11.已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是( )
A. 到直线的距离为
B. 以为圆心，为半径的圆与相切
C. 直线斜率的最大值为
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，，则 ．
13.若，则的值为 ．
14.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在正项数列中，，点在双曲线上在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．
求数列的通项公式并求出其前项和
求数列的前项和
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
讨论函数的单调性．
17.本小题分
如图，已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿进行翻折，使点与点重合，且．
证明：
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某素质训练营设计了一项闯关比赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率
若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望
已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
19.本小题分
已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
求双曲线的标准方程；
设，是双曲线上不同的两点，是的中点，直线、的斜率分别为，证明：为定值；
直线与双曲线的右支交于点在的上方，过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为的直线与双曲线交于点在的上方，再过点分别作的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点证明：共线．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由点在上，则．
数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
．
点在直线上，，
，
两式相减，得，则，
由式，令得，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则
16.解：当时，，所以，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，即
，，
若时，当时，，在上单调递增；
若时，令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
综上所述：若时，在上单调递增；
若时，在上单调递增，在上单调递减．
17.解：证明：由题知，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，，
因为，
所以平面，因为平面，
所以．
由题知以为原点建立如图空间直角坐标系，
取中点，由题知，所以，
由知平面，所以，
因为，所以平面，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
，，令，则，
所以，
由知平面，
所以是平面的一个法向量，，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以．
18.解：设事件表示“该小组比赛胜利”，
则；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布为：
所以；
若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，
由可知，，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，
则，
所以
，
因为，所以，，
所以，即，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
19.解：
因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，
所以，解得，则双曲线的标准方程为；
证明：设，，
因为，为双曲线上的两点，所以
两式相减得，整理得，
则，得证；
证明：设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得或舍
由根与系数的关系得，
直线的方程为，
因为，即，
直线的方程为，
因为，即，
联立，两式相加得，两式相减得，
因为，
则，，
所以，
则都在直线上，故共线．

第1页，共1页