湖南省常常德市德市一中2025届高三第二次月考数学试卷（含答案）

湖南省常德市一中2025届高三第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边与单位圆的交于点，则为( )
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在的极值点，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子结果为的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在上单调递增 D. 在上有且仅有四个零点
11.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．
13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ．
14.若定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得为常数，则称与具有关系已知函数，，且与具有关系，则的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在锐角中，角的对边分别是，且满足．
求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知在多面体中，，，，，且平面平面．
设点为线段的中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知两点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为．
证明：为定值；
若点关于轴的对称点成点，探究：是否存在直线，使得的面积为，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求的值；
如果当，且时，，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ
，
由，即，
为锐角三角形，，
，
；
Ⅱ，由余弦定理，得，
，
由正弦定理，，
，
是锐角三角形，
，且，
，则，
，
，
综上，的取值范围为．
16.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，
在中，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为的中点，
，且，
又，，
，且，
四边形为平行四边形
，
又平面，
平面
Ⅱ平面，，
以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，
平面，
直线与平面所成的角为，
，
，
可取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则
取，则，
，
，
二面角的余弦值为．
17.解：当 时，， ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
， ，
当 时， ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
只有极大值 ，不合题意；
当 时，
若 ，即 ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
若 ， ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
若 ，即 ，
由 在 上恒成立，得 在 单调递增，
所以 无极值，不合题意，
综上所述， 的取值范围为

18.解：令，
根据题意可知：，
化简，可得：；
设，，易得直线的斜率不为，可设直线，
联立方程，
可得，
则
故且，
．
与关于轴对称，
，
由两点式方程可得直线的方程为：
，
，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
，
解得或舍，
所以存在直线，使得的面积为，
直线的方程为：或．
19.解：由题意，即切点坐标是，
因为，
由于直线的斜率为，且过点，
故，解得，；
由知，
所以．
令，则．
设，由知，
单调递减，而，
当时，，可得；
当时，，可得，符合题意．
设，由于当时，，
故，而，
故当时，，可得，与题设矛盾．
设时，此时单调递增，而，
故当时，，可得，与题设矛盾．
综上：实数的取值范围为．
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