贵州省遵义市桐梓县共同体联考2025届高三上学期9月月考数学试题（含答案）

贵州省遵义市桐梓县共同体联考2025届高三上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知单位向量，满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数与的图象恰有一个交点，则( )
A. B. C. D.
7.已知数据，，，的平均数、中位数、方差均为，则这组数据的极差为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，且满足不等式的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称
10.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 若是等差数列，且，则
B. 若是等比数列，且，则
C. 若，则是等差数列
D. 若是公比大于的等比数列，则
11.星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线已知星形线上的点到轴的距离的最大值为，则( )
A. B. 上的点到原点的距离的最大值为
C. 上的点到原点的距离的最小值为 D. 当点在上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中各项系数的和为，则 ．
13.已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的斜率的最小值为 ．
14.已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
若的面积为，求．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
求
已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
18.本小题分
在一个盒子中有个白球，个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，，每次取个，取后不放回，直到个白球都被取出来后就停止取球．
求个白球都被乙取出的概率
求个白球都被甲取出的概率
求将球全部取出才停止取球的概率．
19.本小题分
拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值设一次函数满足可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足
求，并证明当时，
当时，，求的取值范围
利用计算的近似值，并证明其误差不超过．
参考数据：，结果精确到
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
由余弦定理有．
因为，所以．
因为，所以．
因为，
所以，即．
因为，所以．
由可得，
．
由正弦定理有，
从而，
，
，解得．
16.解：抛物线的焦点为，记圆的圆心为，，
与圆上点的距离的最小值为，解得；
抛物线的方程为，
设过点的直线方程为，
联立得，
令，解得或，
所以直线，的方程分别为，，
联立得，解得，，
联立得，解得，，
所以点，的坐标分别为，，
．
17.解：证明：因为，，
所以∽，所以，
所以，，C.
在直三棱柱中，平面，
所以因为，，，平面，
所以平面，因为平面，所以C.
因为，、平面．
所以平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，．
设平面的法向量为，则
取，得．
由可得为平面的法向量．
设二面角的大小为，，，
，
所以二面角的正弦值为．

18.解：若个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，
第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为．
若个白球都被甲取出，有三种情况．
第一种情况：第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为．
第二种情况：第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取出白球，结束取球，其概率为．
第三种情况：第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取出白球，结束取球，其概率为故所求概率为．
若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第五次取出的一定是白球，共四种情况．
第一次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是红球，其概率为．
第二次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是红球，其概率为
第三次和第五次取出的是白球，另外三次取出的是红球，其概率为．
第四次和第五次 取出的是白球，另外三次取出的是红球，其概率为．
故所求概率为．
19.解：，，，，，
，．
由解得
所以
证明：设，，
．
令函数，则．
令函数，则，所以在上单调递减．
又因为，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，，，
所以在上存在唯一的零点，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以，即；
由知等价于，且
设，，
则，，
令函数，则，
令函数，则，所以在上单调递减．
若，即，则在上恒成立，
所以在上单调递减，在上恒成立，
所以在上单调递减，，符合题意．
若，即，
则存在，使得当时，，从而在上单调递增．
因为，所以当时，，即在上单调递增，
所以，不符合题意．
综上，的取值范围为
．
由知，，
所以误差．
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