2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.若平面单位向量，，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中图是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图，砖雕厚度为，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为单位：( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线：的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且，，若点在抛物线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，直线：，：，且，则( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，点、、分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则( )
A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥体积为
C. 当时，三棱锥的外接球表面积为
D. 当时，与平面所成的角的正弦值为
11.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为______．
13.已知是定义域为的奇函数若以点为圆心，半径为的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为______．
14.如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”已知曲线：其中是自然对数的底数，点为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各人作为样本据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占．
根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．
参观科技展 未参观科技展 合计
男生
女生
合计
用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望．
参考公式和数据：，其中．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，．
求角．
若的面积为，，为边的中点，求的长．
17.本小题分
如图，在中，，，点为的中点将沿折起到的位置，使，如图．
求证：．
在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积一般而言，空气的折射率约为如图是折射率为的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为，且与轴交于点平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射
设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点点不与的顶点重合若，，试求出点所有可能的坐标．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
若的极大值为，求的取值范围．
当时，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为男生参观科技展的概率为，所以参观科技展的男生人数为，
因为参观科技展的学生中女生占，所以参观科技展的人数为，
则参观科技展的女生人数为，
结合男、女生各有人，
列联表如下：
参观科技展 未参观科技展 合计
男生
女生
合计
零假设为：学生参观科技展情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取人，抽男生人，女生人，
所以的可能取值为，，，，，
则，，
，，，
所以的分布列为：
所以．
16.解：因为，
所以，
由正弦定理得，，即，
因为，
所以，
又，所以．
因为的面积为，
所以，即，
因为，所以
由余弦定理知，，即，
所以，
因为是边的中点，所以，
所以，
所以，即的长为．
17.解：证明：依题意可知点为的中点，，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
依题意可知，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，
所以．
由题意，得，，
由，所以．
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，
所以，，，
设，即，
则，，
若存在点，使得，则，
解得，则，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
所以．
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18.解：设上任意一点，，光线从点至点的光程为，
光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为，
则，，
由题意得，则，化简得，
所以，所以．
令，得，
所以为双曲线的一部分，解析式为．
由题意知．
设，，，，
则，，，
因为，所以，，
由题意知，，得，，
即，．
将点的坐标代入，得，
化简整理得．
同理可得，
所以与为方程的两个解，
所以．
由题知，所以，解得，
所以点的坐标可能为或．
19.解：由题意，得，．
曲线在处的切线方程为，
又，，．
．
令，得；令，得．
函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
解：由题意得．
当时，令，得；令，得．
在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意．
当时，令，得，．
的极大值为，，解得．
综上，的取值范围为．
证明：当时，．
要证，即证，
只需证．
先证：，．
设，，则．
设，，则．
函数在上单调递增，则，即，
函数在上单调递增，则，．
再证：，，即证．
设，则．
当时，，单调递减．
当时，，单调递增；
．
设，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，即．
综上，得证．
故．
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