2024-2025学年江西省抚州市高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省抚州市高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查名同学在某周周日校园跑的时长单位：分钟，得到统计数据如下：，，，，，，则该组数据的中位数和平均数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知为实数，则( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角，满足，则( )
A. B. C. D.
6.过点的直线与曲线：有两个交点，则直线斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 的取值范围是
B. 时，的渐近线方程为
C. 的焦点坐标为，
D. 可以是等轴双曲线
10.下列函数中，存在数列使得，，和，，都是公差不为的等差数列的是( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是以为周期的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的系数为______．
13.已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为______．
14.已知三个正整数的和为，用表示这三个数中最小的数，则的期望 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于月日在山东省日照市落幕四川田径队的吴艳妮以秒分的成绩打破了米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了年全国田径冠军赛女子米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间单位：与位移单位：之间的关系，得到如下表数据：
画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系．
求出关于的线性回归方程；
记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前项残差的和．
参考数据：，参考公式：．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
证明：；
若，求的周长．
17.本小题分
已知直线：交抛物线：于，两点，为的焦点，且．
证明：；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点．
当时，求四棱锥的体积；
当直线与平面所成的角为时，求的值．
19.本小题分
定义：若对于任意，数列，满足：；，其中的定义域为，，，则称，关于满足性质．
请写出一个定义域为的函数，使得，关于满足性质；
设，若，关于满足性质，证明：；
设，若，关于满足性质，求数列的前项和．
参考答案
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14.
15.解：依题意可得，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为．
根据得到；
；
，
所以．
16.证明：由，整理可得：，
由正弦定理得，
因为，
所以；
因为，所以，
而，由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长为．
17.证明：由题意联立，
得，
又直线：交抛物线：于，两点，
所以，
所以；
解：设，，
由得，，
因为，，
所以，
即，
即，
整理得，
将，代入并整理得，，，
所以，且，
解得：或，
即的取值范围为．
18.解：由题意平面，平面，
所以，又因为，
得，所以，
因为，
所以，
故，又，，
故平面，
所以．
如图，易知，，两两垂直，以为原点，为，，轴建立空间直角坐标系，
由题知，则，，，，
故，
设平面的一个法向量为，
由得
取，得，故，
又，
，
即，
化简可得，
解得或舍去．
19.解：令，定义域为，
显然任意，，且，
故满足要求，注：所有的定义域为的偶函数均符合题意，
证明：因为，所以，
移项得，
因为，所以，故，
由基本不等式，当且仅当时取到等号，
而，故，即．
由题意，，
故，
设，
则，
故在上单调递增，而，
故时，时，，
因此在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，因为，
所以当时，，当或时，，
且时，，时，，
故对于任意，方程有且只有两个不同的根，，
又，故的图象关于对称，故，
因此数列的前项和为．
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