2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中项的系数是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列如下表所示，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若某圆台有内切球与圆台的上下底面及每条母线均相切的球，且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
10.若直线与圆：交于不同的两点、，为坐标原点，则( )
A. 当时， B. 的取值范围为
C. D. 线段中点的轨迹长度为
11.若函数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则函数的最大值为
B. 若，则函数为奇函数
C. 存在，使得
D. 若，则，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是两个单位向量，若，则向量夹角的余弦值为______．
13.若复数满足，则 ______．
14.如图，设双曲线的左焦点为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三棱锥，底面，，，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上．
若平面，求证：为的中点；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，满足．
若，求；
若是锐角三角形，且，求的取值范围．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为．
求椭圆的方程；
延长交椭圆于，若，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数；
设函数，求函数的极值；
若不等式当且仅当在区间上成立其中为自然对数的底数，求的最大值；
实数，满足，求证：．
19.本小题分
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值，，，，构成数列．
若数列为等比数列，求实数的取值范围；
若，证明：
；
．
参考答案
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15.解：证明：连结，因为平面，平面，平面平面，
则，又因为是的中点，所以是中点．
因为底面，，如图建立坐标系，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，可得，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：因为，由正弦定理可得，
则，
整理得，
因为，，则，则，即，
由，，
即，
故，则，．
因为是锐角三角形，则，解得，
则，
故，
则，即，所以的取值范围为．
17.解：由条件得，即，则，
则，，
解得，
所以椭圆的方程为：；
由题意可知：，，则，且直线与椭圆必相交，
若直线的斜率不存在，可知：，
联立方程，解得，
不妨取，则，
可得，不合题意；
若直线的斜率存在，设直线：，，，
则，，
与椭圆联列方程得，整理可得：，
可得，
则
，
可得，解得，
所以直线的方程为；
综上所述：直线的方程为．
18.解：由函数，得，，
求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值．
函数，，求导得，函数在上单调递增，
依题意，，即，解得，
于是，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
证明：依题意，，
令，由，得，令，求导得，
函数在上单调递增，，因此，
即，于是；
，
令，求导得，函数在上单调递减，
，因此，即，则，
所以．
19.解：由是等比数列，得，且，，
依题意，，则，
于是，即，整理得，
因此，即，解得，
所以实数的取值范围是．
证明：由知，，则，
由，得数列是递减数列，则；
又，则，同号，有与同号，即，于是，
所以．
由，得，
由知，，则，又，因此，
所以．
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