2024-2025学年河南省郑州市九师联盟高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市九师联盟高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：，若圆：与的渐近线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若：与的夹角是钝角，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的高与底面半径之和为，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若关于的方程有个不相等的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，，满足，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，，则( )
A. 与的图象有相同的对称中心
B. 与的图象关于轴对称
C. 与的图象关于轴对称
D. 的解集为
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面内的动点，则( )
A. 若，则
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分
D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知样本数据：，，，，的标准差为，则 ______．
13.，，，共位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次社会实践活动共有：交通安全宣传，防火知识宣传，防溺水安全教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育个项目，每人报且仅报其中一个项目记事件为“四名同学所报项目互不相同”，事件为“仅有报了防火知识宣传”，则 ______．
14.如图，已知抛物线：点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司在员工招聘面试环节准备了道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束已知李明答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立．
求李明没通过面试的概率；
记李明所答题目的数量为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若恒成立，求整数的最小值参考数据：，．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，．
证明：；
已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18.本小题分
已知椭圆，点与上的点之间的距离的最大值为．
求点到上的点的距离的最小值；
过点且斜率不为的直线交于，两点点在点的右侧，点关于轴的对称点为．
证明：直线过定点；
已知为坐标原点，求面积的取值范围．
19.本小题分
若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数设的递归函数为．
若，，证明：为递减数列；
若且，的前项和记为，
求；
我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，若，求．
参考答案
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15.解：李明没通过面试包含前题有题答对，第题答错和前题均答错两种情况，
故所求概率为．
由题意得的取值为，，，
则，
，
，
故所求分布列为：
所以．
16.解：由题意得的定义域为，，
因为在处取得极值，
所以，解得，
此时，，其中恒成立，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，并且在处取得极大值．
，即，
令，则，，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以存在唯一的，使得，即，
所以，
当时，，，当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，
所以，
又在上单调递增，
故，
又，
所以整数的最小值为．
17.解：证明：因为，，
所以，所以，
同理，又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
连接，因为，，，
所以≌，
所以，
又，由等腰三角形三线合一，得，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
因为，，
所以，
所以，又，，故AD，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
由知平分，设，所以，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，，
所以，
设平面的法向量为，
则即
令，得，，
所以，
设平面与平面夹角的大小为，
则，
两边平方并化简得，
解得或，
因为，，
所以点到的距离为，
因为四边形为凸四边形，所以，所以不合题意，
所以，所以，
所以，
所以．
18.解：设是椭圆上一点，则，所以，
所以，
因为，所以当时，，
即，解得或舍去，
所以，
所以当时，，
即点到上的点的距离的最小值为．
证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
设，，，
联立 ，消去并化简得，
所以，解得，且．
又点在点的右侧，则，
，，
所以直线的方程为，即，
因为
，
所以的方程为，所以直线过定点．
由知直线的方程为，设，则，
，将，代入，
可得，由，且，
所以的取值范围为．
联立，消去并化简得，
则，
，
，
原点到直线的距离为，
所以，
令，则，
又函数在上单调递增，
所以，的值域为．
所以的取值范围是，
所以面积的取值范围为．
19.解：证明：若，
显然，
又，所以，，，，，
所以，，
因为，，
所以，
，所以，
所以是递减数列；
由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则；
由得，
所以，
当时，，所以；
当时，，
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
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