2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知圆与直线相切，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
6.设向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的八条棱长均为，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为( )
A. B. C. D.
9.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为常数为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为( )
A. B. C. D.
10.已知集合，是集合表示的平面图形的面积，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.抛物线的准线方程为______．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则 ______．
13.已知函数若，则 ______；若在上单调递增，则的一个值为______．
14.如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好经过点图，设正四棱柱的高为，正四棱锥的高为，则 ______．
15.古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类如图，第一行图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论：
数列的一个通项公式是；
既是三角形数，又是正方形数；
；
，，总存在，使得成立．
其中所有证确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
已知四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点．
Ⅰ若为的中点，求证：平面；
Ⅱ若求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为元、元、元为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了件产品进行等级检测、检测结果如下表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量件
Ⅰ从流水线上随机抽取件产品，估计这件产品是一等品的概率；
Ⅱ若从流水线上随机抽取件产品，这件产品的利润总额为求的分布列和数学期望；
Ⅲ为了使每件产品的平均利润不低于元，产品中的一等品率至少是多少？
19.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为焦距为过点且斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
Ⅰ求椭圆的方程及离心率；
Ⅱ若直线与轴垂直，求的值．
20.本小题分
已知函数，直线为曲线在点处的切线．
Ⅰ当时，求出直线的方程；
Ⅱ若，求的最小值；
Ⅲ若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知数列：，，，，的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
Ⅰ若数列：，，，，求集合，并写出的值；
Ⅱ若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
Ⅲ已知数列：，，，，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一
14.
15.
16.解：Ⅰ因为，由正弦定理可得，
在锐角中，，可得，
可得；
Ⅱ若选条件：，由正弦定理可得，
即，解得，
因为，
所以；
若选条件：，
在锐角三角形中，由正弦定理可得，
即，可得，可得，
因为，
所以．
17.解：证：设的中点，连接，，如图所示：
四边形为菱形，为的中点，，，
又为的中点，，且，
，，四边形为平行四边形，
，又面，面，
面；
当时，，四边形为正方形，
又面，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设面的法向量为，则，即，令，则，，，
又，，且，面，
故可以作为面的一个法向量，
，．
即平面与平面夹角的余弦值．
18.解：Ⅰ设概率为，由题意得；
Ⅱ首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，
则单次抽到一等品的概率为，抽到二等品和三等品这个整体的概率为，
当时，抽到的产品一定在二等品和三等品这个整体里，
所以；
当时，；
当时，，
当时，，
故分布列见下表：


所以数学期望为；
Ⅲ设产品中的一等品率为，故非一等品率为，
所以，解得，
所以产品中的一等品率至少是．
19.解：Ⅰ因为椭圆的一个顶点为，焦距为，
所以，，所以，故椭圆的方程为，
故离心率为；
Ⅱ如图，设的方程为，，，
联立方程组，可得，
而，
所以，，
因为过点和的直线与椭圆的另一个交点为，
所以，，三点共线，所以，共线，
因为与轴垂直，所以，故，，
故得，所以，
化简得，所以，
而，所以，，解得，故的值为．
20.解：Ⅰ因为，则斜率，
又，
则函数在点处的切线的方程为；
Ⅱ，
则，
令，得，
则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的最小值为；
Ⅲ由，得，则，
可得曲线在处的切线方程为，
即．
令，
显然，，
令，
则，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，时，，
所以，
则在上单调递增，且，
所以在上无零点，舍去；
若，
因为，
所以时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
而趋于时，趋于，
所以在上存在零点．
故的取值范围是．
21.解：由题意，数列：，，，，
可得，，，，，，
所以集合，所以．
证明：必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为，
当时，，所以，
则，故必要性成立；
充分性：若是递减数列，，则为等差数列，
因为是递减数列，所以，
所以，，，，，且互不相等，
所以，
又因为，
所以，，，，，且互不相等，
所以，，，，
所以，
所以为等差数列，充分性成立．
所以若是递减数列，“为等差数列”的充要条件是“”．
证明：由题意集合中的元素个数最多为个，
即，
对于数列：，，，，此时，
若存在，则，其中，，
故，
若，不妨设，则，而，，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，故由：，，，得到的彼此相异，所以．
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