2024-2025学年山西省运城市盐湖第五高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省运城市盐湖第五高级中学高三（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，设是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量和的夹角为，且，，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数是定义在上的奇函数，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 存在实数，使函数为奇函数
B. 对任意实数和，函数总存在零点
C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值
D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减
8.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的周期
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
10.如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内不含边界的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则的轨迹的长度为
11.已知线段是圆：的一条动弦，为弦的中点，，直线：与直线：相交于点，下列说法正确的是( )
A. 弦的中点轨迹是圆
B. 直线，的交点在定圆上
C. 线段的最小值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设抛物线：的焦点为，直线过且与交于、两点，若，则的方程为______．
13.已知二项式的展开式中第项的二项式系数为，则展开式中常数项为______．
14.函数定义域为，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的阶无穷递降函数根据上述定义，已知函数，那么函数在上______填“是”或“不是”阶无穷递降函数；若函数在上是阶无穷递降函数，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
证明：；
若，，求的值．
16.本小题分
如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
求证：平面．
若三角形为边长为的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值．
17.本小题分
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为等品，其它产品称为等品现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率保留小数点后面两位有效数字；
同一组中的数据用该组区间的中点值代表；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按件一箱包装已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大．
18.本小题分
已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，为坐标原点，
求双曲线的离心率；
求的面积．
19.本小题分
在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“型扩展”如将数列，进行“型扩展”，第一次得到数列，，：第二次得到数列，，，，；设第次“型扩展”后所得数列为，，，，，其中，并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“型扩展”即将数列，进行“型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“型扩展”后所得数列为，，，，，其中，当时，记．
当，时，求数列，第次“型拓展”得到的数列的第项；
当，时，求数列，的通项公式；
是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立其中，是第二问中数列的通项公式若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.不是
15.证明：因为，
由正弦定定理可得：，
在中，，
所以，
即，
而，
整理得，
即，
又，是的内角，
所以，，，
所以或舍去，
即；
解：由及可知，，
由可知，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
因为，，可得，
所以，
即，
解得．
16.解：证明：如图所示，取中点，连接，
是中点，
，，
取的四等分点，使，
，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
取的中点，连接，则，
则或其补角为异面直线和所成的角，
平面，，平面，
，，即，
，即为直角三角形，
，
即异面直线和所成角的余弦值为．
17.解：由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：，
即，又因为，
所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为；
，
所以所取样本的个数为件，质量指标值在的芯片件数为件，
故可能取的值为，，，，相应的概率为：
，，，，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望；
设每箱产品中等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由知：每箱零件中等品的概率为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以当时，每箱产品利润最大．
18.解：在椭圆中，因为，，，
所以椭圆焦点为，所以双曲线的焦点坐标为．
又因为双曲线的渐近线方程为，
的方程：．
联立得，
解得，，．
由题意可知，点、点分别为第一、二象限的交点，
因为，，
所以，，
又因为，
所以，．
化简整理得，
又因为代入上式，解得，．
所以双曲线方程为．
所以离心率．
由第一问知，，
所以，．
所以．
19.解：将数列，进行第一次“型拓展“得到，，；进行第二次“型拓展“得到，，，，；
进行第三次“型拓展“得到，，，，，，，，；所以第项为；
当，时，，
，
所以，又，
从而是首项为，公比为的等比数列，
，
；
，
，
，
即是以为首项，为公差的等差数列，则；
将数列进行型拓展后得到数列，
显然，，
，
，且，
可以看作是数列的前项和，
即，，，，，分别对应，，，，取，
当时，，
即．
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