2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 92.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-19 07:33:57 | ||
图片预览
内容文字预览
2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为( )
A. B. C. D.
5.下列求导运算不正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.的二项展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.若函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设，其中，则( )
A. B. C. D.
10.已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
11.“”以其极高的智能化引起世界关注深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：( )
A. B. C. D.
12.已知数列满足则( )
A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，对于任意正整数，存在，使得
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数的定义域是 ．
14.已知复数，则 ．
15.已知命题：若为第一象限角，且，则能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， ．
16.已知向量，满足，，且，则 ．
17.在数列中，数列满足若是公差为的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 ．
18.已知函数的值域是，若，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，，是边上的点，，，．
求 与的面积；
求边的长．
20.本小题分
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
成绩分组 频数
规定成绩不低于分为“优秀”．
估计高一年级知识竞赛的优秀率；
将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出名学生，记这名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
在高一、高二年级各随机选取名学生，用，分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论
21.本小题分
已知函数．
若，，求的值；
设，求在区间上的最大值和最小值．
22.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
求函数的单调区间．
23.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线的斜率为，求曲线在点处的切线方程；
定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，且
14.
15.
16.
17.
18.
19.在中，由余弦定理得，
，，
；
由知，，，
在中，由正弦定理得，
即．
20.高一年级知识竞赛的优秀率为．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为
在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为．
的所有可能取值为，，；
；
；
．
所以随机变量的分布列为：
显然，均符合两点分布，且，，，，
所以
所以
21.因为，由，得到，
解得或，
即或，又，
所以或．
因为，
令，因为，得到，
由的图象与性质知，，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
22.由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
23.，所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
，是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以．
第1页，共1页
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为( )
A. B. C. D.
5.下列求导运算不正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.的二项展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.若函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设，其中，则( )
A. B. C. D.
10.已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
11.“”以其极高的智能化引起世界关注深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：( )
A. B. C. D.
12.已知数列满足则( )
A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，对于任意正整数，存在，使得
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数的定义域是 ．
14.已知复数，则 ．
15.已知命题：若为第一象限角，且，则能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， ．
16.已知向量，满足，，且，则 ．
17.在数列中，数列满足若是公差为的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 ．
18.已知函数的值域是，若，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，，是边上的点，，，．
求 与的面积；
求边的长．
20.本小题分
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
成绩分组 频数
规定成绩不低于分为“优秀”．
估计高一年级知识竞赛的优秀率；
将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出名学生，记这名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
在高一、高二年级各随机选取名学生，用，分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论
21.本小题分
已知函数．
若，，求的值；
设，求在区间上的最大值和最小值．
22.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
求函数的单调区间．
23.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线的斜率为，求曲线在点处的切线方程；
定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，且
14.
15.
16.
17.
18.
19.在中，由余弦定理得，
，，
；
由知，，，
在中，由正弦定理得，
即．
20.高一年级知识竞赛的优秀率为．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为
在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为，选中成绩不优秀学生的概率为．
的所有可能取值为，，；
；
；
．
所以随机变量的分布列为：
显然，均符合两点分布，且，，，，
所以
所以
21.因为，由，得到，
解得或，
即或，又，
所以或．
因为，
令，因为，得到，
由的图象与性质知，，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
22.由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
23.，所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
，是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以．
第1页，共1页
同课章节目录