2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 90.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-19 07:36:56 | ||
图片预览
文档简介
2024-2025学年北京市第一零一中学高三上学期开学检测数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则( )
A. B. C. D.
2.若，且，则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转动一周若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是
A. B. C. D.
4.如图所示，，，表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是，那么此系统的可靠性是( )
A. B. C. D.
5.若函数，的定义域和值域都是，则( )
A. B. C. D.
6.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为( )
A. B. C. D.
8.年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为单位：，且，则大跳台最高高度( )
A. B. C. D.
9.若函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知，，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数，则 ．
12.已知二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为，则实数的值为 ．
13.设为内一点，且，则与的面积比为 ．
14.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ．
15.已知正项数列满足，，则在下列四个结论中，；是递增数列；；其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，其中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
求的值；
若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件：对任意的，都有成立；
条件：；
条件：．
18.本小题分
在中，，求：
的值；
和面积的值．
19.本小题分
某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会现从年和年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取位考生，获得数据如下表：
年 年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 人 人 人 人
第二次 人 人 人 人
第三次 人 人 人 人
假设每次考试是否通过相互独立．
从年和年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
小明在年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
若年考生成绩合格的概率不低于年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？直接写出结果
的值
20.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求的值；
求证：方程仅有一个实根；
对任意，有，求正数的取值范围．
21.本小题分
定义为有限项数列的波动强度．
当时，求；
若数列满足，求证：；
设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.解：设数列的公差为，
则，
，
设数列的公比为，
则，
，
，从而；
由可知，，
的前项和为
．
17.由，
若选条件：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件时存在，故可选；
若选条件：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选；
若选条件：，
所以，因为，可得，故条件能使成立，故可选；
综上所述：故可选择条件或，此时．
由知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为．
18.由可得，即．
又则
故或解得或．
因，则不是最大角，故得，
所以
由正弦定理，可得则
因为，由余弦定理，，
则故
则
19.记事件：“年第次参加考试的考生通过考试”，，
记事件：“年第次参加考试的考生通过考试”，，
则，，
从年和年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；
，，
，
小明在年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为
；
年考生成绩合格的概率为，
年考生成绩合格的概率为，
要使年考生成绩合格的概率不低于年考生成绩合格的概率，
则，解得．
故的最小值为．
20.解：因为，所以，
又点在切线上，所以，
所以，即．
证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，
令，则，
讨论：当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
当时，，即此时有一个零点；
当时，
所以，当时，，即此时无零点
综上可得，仅有一个零点，得证．
当时，，即恒成立，
令，
则，
由Ⅱ可知，时，
所以，
讨论：当时，因为，所以，
即，
所以，
即当时，，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
当时，由可知，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立，
综上可知，正数的取值范围是．
21.
证明：因为，
，
所以
因为，所以，或．
若，则
当时，上式，
当时，上式，
当时，上式，
即当时，．
若，
则，
同前
所以，当时，成立．
证明：由易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变将此作为引理
下面来证明当时，为递减数列．
(ⅰ)证明．
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若，则，与已知矛盾．
所以，．
(ⅱ)设，证明．
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若，则，与已知矛盾．
所以，．
(ⅲ)设，证明．
若，考查数列，
则由前面推理可得，与矛盾．
所以，．
综上，得证．
同理可证：当时，有为递增数列．
第1页，共1页
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则( )
A. B. C. D.
2.若，且，则( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转动一周若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是
A. B. C. D.
4.如图所示，，，表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是，那么此系统的可靠性是( )
A. B. C. D.
5.若函数，的定义域和值域都是，则( )
A. B. C. D.
6.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为( )
A. B. C. D.
8.年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为单位：，且，则大跳台最高高度( )
A. B. C. D.
9.若函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知，，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数，则 ．
12.已知二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为，则实数的值为 ．
13.设为内一点，且，则与的面积比为 ．
14.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ．
15.已知正项数列满足，，则在下列四个结论中，；是递增数列；；其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，其中，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
求的值；
若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件：对任意的，都有成立；
条件：；
条件：．
18.本小题分
在中，，求：
的值；
和面积的值．
19.本小题分
某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会现从年和年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取位考生，获得数据如下表：
年 年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 人 人 人 人
第二次 人 人 人 人
第三次 人 人 人 人
假设每次考试是否通过相互独立．
从年和年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
小明在年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
若年考生成绩合格的概率不低于年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？直接写出结果
的值
20.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求的值；
求证：方程仅有一个实根；
对任意，有，求正数的取值范围．
21.本小题分
定义为有限项数列的波动强度．
当时，求；
若数列满足，求证：；
设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.解：设数列的公差为，
则，
，
设数列的公比为，
则，
，
，从而；
由可知，，
的前项和为
．
17.由，
若选条件：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件时存在，故可选；
若选条件：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选；
若选条件：，
所以，因为，可得，故条件能使成立，故可选；
综上所述：故可选择条件或，此时．
由知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为．
18.由可得，即．
又则
故或解得或．
因，则不是最大角，故得，
所以
由正弦定理，可得则
因为，由余弦定理，，
则故
则
19.记事件：“年第次参加考试的考生通过考试”，，
记事件：“年第次参加考试的考生通过考试”，，
则，，
从年和年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为；
，，
，
小明在年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为
；
年考生成绩合格的概率为，
年考生成绩合格的概率为，
要使年考生成绩合格的概率不低于年考生成绩合格的概率，
则，解得．
故的最小值为．
20.解：因为，所以，
又点在切线上，所以，
所以，即．
证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，
令，则，
讨论：当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
当时，，即此时有一个零点；
当时，
所以，当时，，即此时无零点
综上可得，仅有一个零点，得证．
当时，，即恒成立，
令，
则，
由Ⅱ可知，时，
所以，
讨论：当时，因为，所以，
即，
所以，
即当时，，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
当时，由可知，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立，
综上可知，正数的取值范围是．
21.
证明：因为，
，
所以
因为，所以，或．
若，则
当时，上式，
当时，上式，
当时，上式，
即当时，．
若，
则，
同前
所以，当时，成立．
证明：由易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变将此作为引理
下面来证明当时，为递减数列．
(ⅰ)证明．
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若，则，与已知矛盾．
所以，．
(ⅱ)设，证明．
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾．
若，则，与已知矛盾．
所以，．
(ⅲ)设，证明．
若，考查数列，
则由前面推理可得，与矛盾．
所以，．
综上，得证．
同理可证：当时，有为递增数列．
第1页，共1页
同课章节目录