2024-2025学年北京市日坛中学高三上学期开学考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市日坛中学高三上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，有，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比当信噪比比较大时，公式中真数里面的可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率约为( )
A. B. C. D.
9.如图，在等腰梯形中，点在线段上运动，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.设集合则
A. 对任意实数， B. 对任意实数，
C. 当且仅当时， D. 当且仅当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线被圆所截得的弦长为 ．
12.能使“”成立的一组，的值可以为 ．
13.若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
15.已知函数，关于此函数的说法：为周期函数；有对称轴；为的对称中心；；正确的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间；
Ⅱ若在区间上的最小值为，求的最大值．
17.本小题分
在中，．
求；
若，______，求从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18.本小题分
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用中所得概率，求的分布列和数学期望；
假设该地区有万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．
19.本小题分
已知椭圆，设椭圆与轴的交点为点位于点的上方，直线与交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：三点共线．
20.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
当时，若在区间上恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
设集合，若是的子集，把中所有数的和称为的“容量”规定空集的容量为，若的容量为奇偶数，则称为的奇偶子集．
当时，写出的所有奇子集；
求证：当时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；
当时，求的所有奇子集的容量之和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ
．
由，
得．
所以的单调递增区间是
Ⅱ因为，所以．
要使得在上的最小值为，
即在上的最小值为．
所以，即．
所以的最大值为．

17.解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，，
即，
即，
，
又，
．
Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，
可得，解得，或舍去，可得．
若选，则，
由正弦定理，可得，解得．
18.由题意知，位患者中有位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．
由题意可知，其中，．
的所有可能的取值为，，，．
，
，
，
．
所以的分布列为
故的数学期望．
此人患该疾病的概率未超过理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为
，其中患者人数为．
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为．
所以此人患该疾病的概率未超过．

19.由曲线的方程为，可知点，
由．
因为直线与曲线交于不同的两点，
所以，
设点，则，
且，
易知直线的方程为，所以点，
因为直线和直线的斜率分别为，，
所以
，
即，故三点共线．

20.解：的定义域为，
．
当时，，令，解得，则函数在上单调递增，
令，解得，则函数在上单调递减．
当时，令，解得，则函数在上单调递减，
令，解得或，则函数在，上单调递增．
当时，恒成立，则函数的单调递增区间为．
当时，，令，解得，则函数在上单调递减，
令，解得或，则函数在，上单调递增．
由得当时，函数在区间上单调递增，
则，故不满足条件；
当时，由可知，函数在上单调递增，在上单调递减．
，满足条件；
当时，由可知，则函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极小值，极小值为．
若极小值为最小值，在区间上恒成立，则，
解得，
若，
则，即．
因为，
所以的取值范围为．

21.当时，，则的所有奇子集为；
，一定存在奇数，
设奇数，对于的每个奇子集，
当时，取．
当时，取，则为的偶子集．
反之，亦然．
所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以，的奇子集与偶子集个数相等．
由上可知，的奇子集有个，易得每个元素在奇子集中都出现次，
故奇子集的容量和为．

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