2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数其中为虚数单位的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
3.已知，，且 ，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为( )
A. B. C. D.
6.设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数当时，函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.函数在上的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量，，则( )
A. B.
C. D. 若，则
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
11.已知曲线是平面内到定点和定直线：的距离之和等于的点的轨迹，若在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称 B. 曲线关于轴对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：与：有相同的渐近线，若的离心率为，则的离心率为______．
13.曲线与的公切线方程为______．
14.袋中有大小质地均相同的个黑球，个白球，个红球，现从袋中随机取球，每次取一个，不放回，直到某种颜色的球全部取出为止，则最后一个球是白球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，且，．
求的值；
若的面积为，求边上的高．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离与点到点的距离之比为常数记的轨迹为，曲线的上顶点为．
推导的标准方程；
过的直线与相交于另一点若面积为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，三棱柱中，侧面为矩形，底面为等边三角形．
证明：；
若，，
证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，，，，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中，现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为回答下列问题：
求出维“立方体”的顶点数；
在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
求的分布列与期望；
求的方差．
19.本小题分
已知是自然对数的底数，常数，函数，．
求、的单调区间；
讨论直线与曲线的公共点的个数；
记函数，若，且，则，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
由正余弦边角关系得，，
又，
由得，，
，
；
由得，，
或由余弦定理得
为锐角，，
的面积，
，设边上的高为，
则的面积，
，即边上的高为．
16.解：设，由题意可得，
化简可得，即．
所以的标准方程为．
由可得，
设直线的方程为，
联立，
可得设，
则，即，
所以，即．
设直线与轴的交点为，
在中，令，可得，即．
由椭圆方程可得，
则
，
所以，即，解得或．
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或．
17.解：证明：取中点为连结，
因为侧面为矩形，所以，又，则，
由底面为等边三角形，所以．
故BC平面，
由于平面，故A．
又，故AC.
证明：由，为的中点及，所以．
又，得，则，
又，，所以平面，
平面，故平面平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
．
，．
设平面的一个法向量是，
则，令，则，，所以．
由知是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：对于维坐标，，，
所以共有种不同的点，即共有个顶点；
对于的随机变量，
在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，
所以，
则的分布列为：
所以，
倒序相加得，，
所以；
，
设，
两边求导得，，
两边乘以后得，，
两边求导得，，
令得，，
所以．
19.解：函数的定义域为，且，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
函数的定义域为，常数，
当时，，当时，．
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
设，它的定义域为，
所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以的最小值为，
所以方程无实数解，
所以直线与曲线无公共点．
根据已知，的定义域为．
设，由得，且．
由，记，，则，；
由得
由知在上单调递减，故，所以，．
记，则，由得
，，若，且，
则，．
设，则，
解得．
由得，由得，
所以．
设，则，，，
由是自然对数的底数，得，
由知，在上单调递减，在上单调递增；
由得．
又因为，
所以存在唯一，使，
所以当时，；当时，；当时，，
所以当时，单调递增，故；
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故．
综上，，，
所以实数的取值范围为．
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