2024-2025学年广东省深圳市第三高级中学高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市第三高级中学高三（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.设为抛物线：的焦点，若点在上，则( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线与曲线相切，则实数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 将函数图象上各点横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，可得函数图象
C. 函数是奇函数
D. 函数在区间内所有零点之和为
10.已知椭圆且与双曲线的焦点重合，，分别为椭圆，双曲线的离心率，则( )
A. B.
C. D. 当时，
11.如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，复数，满足，在复平面中的第一象限，且实部为，则为______
13.现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
14.已知函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表．
机床 品级 合计
一级品 二级品
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异．
附：．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．
求证：平面；
若，求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线：的距离大．
求曲线的方程；
若直线：与曲线交于，两点，求证：．
18.本小题分
已知函数，且，．
若，函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
证明：对于任意实数，参考数据：．
19.本小题分
已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
若数列为等差数列，且，，求证：数列具有性质；
设数列的各项均为正数，且具有性质．
若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为．
，
依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
16. 证明：在中，作，垂足为，设，则，
因为，所以∽，所以，即，解得，
又因为，所以，且，
所以∽，所以，即，解得，
即，所以是的中点，是的中点，
又因为是的中点，所以，同理，，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以，
因为，，所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
的面积为，
所以三棱锥的体积为．
17.解：设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，
即动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以，两边平方，
化简可得．
证明：设、，由，消去得，
则，所以，，
所以，
所以，即．
18.解：时，，
由题知对任意恒成立，
因为在上单调递增，
则，得，
又，，得，
综上，，即实数的取值范围是．
证明：法：
由题，，则，
而，显然在上单调递增，
，
，
由零点存在定理知存在唯一使 ，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
，
，
所以
，
即，单调递减，
又，
故，又，故，
则，
命题得证．
法：
由题，，
则，
而，显然在上单调递增，
，
，
由零点存在定理知存在唯一，使 ，，
在单调递减，在单调递增，
所以，
，
记，
则对称轴，
所以
，
命题得证．
19.证明：因为数列为等差数列，且，，
所以，，
解得，，
所以，，
所以，
即，
所以数列具有性质．
：由题意得：数列具有性质，即，
若，，整理得，
解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，整理得，
当时，上式恒成立，满足题意；
当且时，解得，与为任意正整数相矛盾；
综上，．
：由可得，即，
因此，
即，
所以，
因为各项均为正数，所以，
从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
当时，恒成立，符合题意，所以的最小值为．
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