2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含答案）

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.计算( )
A. B. C. D.
3.函数的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，则( )
A. “，”是“”的必要条件
B. “，”是“”的充分条件
C. “，”是“”的必要条件
D. “，”是“”的充分条件
6.已知函数，则( )
A. 是奇函数，不是增函数 B. 是增函数，不是奇函数
C. 既是奇函数，也是增函数 D. 既不是奇函数，也不是增函数
7.若的展开式中的系数是，则( )
A. B. C. D.
8.圆与圆交于，两点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
9.已知和都是函数的极值点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.抛物线：的焦点为，上的点到的距离等于到直线的距离，则( )
A. B. C. D.
11.正四棱柱的八个顶点都在一个半径为的球的球面上，到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是( )
A. B. C. D.
12.已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.用，，，这个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有______个
14.记等差数列的前项和为，若，，则 ______．
15.不等式的解集为______．
16.函数的最小值为______．
17.已知函数的定义域为，若，，则 ______．
18.已知二面角的大小为，正方形在内，等边三角形在内，则异面直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知中，，．
求；
求．
20.本小题分
在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为，使用乙仪器的概率为，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．
求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；
记为在个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求．
21.本小题分
记数列的前项和为，已知，．
证明：数列是等比数列；
求的通项公式．
22.本小题分
已知椭圆的左焦点为，点，，过的直线交于，两点．
求的坐标；
若点在直线上，证明：是的角平分线．
参考答案
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19.解：由，可得，
由正弦定理，可得，
又，，所以，
由诱导公式，可得，
所以或，，
又，所以，，
又，故B；
由知，，，则，
所以
．
20.解：设事件表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，
则；
因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为，
则，
所以．
21.解：证明：，
，
，
，
，
，
，又，
数列是以首项为，公比为的等比数列；
由可得，
，
当时，，
可得，
又，也满足上式，
，．
22.解：因为直线过焦点和点，
所以令，得，即，则，
令，得，即，
又，
所以椭圆的方程为，
联立，
解得或，
所以，，
所以
证明：由知，，
所以直线的方程为，
令，得，
所以，
，
，
因为直线的斜率为，
所以，
所以，
所以是的角平分线．
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