2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为( )
A. B.
C. D.
5.已知向量为单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为的扇形，则此圆锥内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛物线：的焦点为，为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为：
B. 抛物线的准线方程为：
C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
10.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数
C. D. 数列中的最小项为
11.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式的展开式中第项的二项式系数为，则展开式中常数项为______．
13.若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 ______．
14.设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且，若的面积为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，．
求函数的最小值；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动现有名男教师，名女教师报名，本周随机选取人参加．
求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
记参加活动的女教师人数为，求的分布列及期望；
若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为，每人每参加项活动可获得“体育明星”积分分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为，求的期望．
19.本小题分
已知椭圆的上顶点为，左、右焦点为，，离心率为的面积为，直线与椭圆交于，两点．
求椭圆的方程；
当直线过点且与直线垂直时，求的周长；
若是坐标原点，求面积的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，，
，则，，
所以在处的切线方程为，即．
，
若函数在上单调递增，
则当，，即对于恒成立，
令，则，
则函数在上单调递增，
所以，故，
即的取值范围是．
16.解：
，
因为，
所以，
所以当，
即时，有最小值；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理，，
所以，
又因为，
所以，
得，
由余弦定理有：，
所以．
所以．
17.证明：取中点，连接，，
因为为中点，所以，且，
又四边形为菱形，且为中点，所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：连接与，交于点，
因为四边形为菱形，所以，且为，的中点，
又，所以，
因为，平面，且，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以直线在平面内的射影是，
所以为直线与平面所成的角的平面角，即，
又，，，
所以，
以为原点，直线、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，得，所以，
所以，，
故二面角的余弦值为．
18.解：设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件，
则，，
所以．
依题意知服从超几何分布，且，
，，，
所以的分布列为：
．
设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，
，
所以．
即两个教师得分之和的期望为分．
19.解：因为，所以，又，则，
即椭圆方程为，
因为，所以，
即，则，，
故椭圆方程为．
由知，，，得为正三角形，
则由，得直线为线段的垂直平分线，
所以且，
则的周长为
．
当直线，的斜率一条为零，另一条不存在时，的面积为，
当直线，的斜率存在且不为零时，设直线：，
与椭圆联立消去，得，
即，则，
则，
同理可得，，
故的面积为
当且仅当，即时取最小值，
综上，的面积的取值范围为．
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