第21章一元二次方程易错题大集结(含解析)

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第21章一元二次方程易错题大集结-数学九年级上册人教版
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易错题型一：一元二次方程概念与性质
易错题型二：配方法解一元二次方程
易错题型三：公式法解一元二次方程
易错题型四：因式分解法解一元二次方程
易错题型五：一元二次方程的根与系数的关系
易错题型六：营销问题
易错题型七：几何问题
【易错题型跟踪训练】
易错题型一：一元二次方程概念与性质
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．7
3．一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ）
A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1
4．把方程化成一般形式，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
易错题型二：配方法解一元二次方程
5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B． C． D．
7．用配方法解方程，方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
8．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
易错题型三：公式法解一元二次方程
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．若方程的有两个相等的实数根，则 ．
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
12．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
易错题型四：因式分解法解一元二次方程
13．若，则 ．
14．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ．
15．已知，则的值是 ．
16．若实数x满足，则 ．
易错题型五：一元二次方程的根与系数的关系
17．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1）
(1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？
(2)求证：此方程总有两个实数根．
18．已知关于x的方程：．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根为和，若，求实数k的值．
19．已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求a的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长．
20．已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数．
(1)求k的取值范围；
(2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由．
易错题型六：营销问题
21．华为手机王者归来，遥遥领先，系列火爆销售中．据调查，2021年华为系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台．
(1)求华为手机系列销售量的年平均增长率；
(2)如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能否超过2000万台？
22．甲商品的售价为每件40元．
(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
23．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
(1)若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？
24．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
易错题型七：几何问题
25．为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）．
(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
(2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由．
26．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？
27．如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米．
(1)的长为 米（用含x的代数式表示）
(2)若仓库的面积为150平米，求；
(3)仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．
28．有一块矩形铁皮如图所示，长为，宽为，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为，宽为，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为，请计算裁出的每个小矩形的周长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B B A D A
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的的一个根为2，
∴，
∴．
故选：C
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，进行去括号、移项、合并同类项求解即可．
【详解】解：方程化成一般形式为，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．
先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【详解】解：
，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
配方得：，即．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：
故选A．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案为：或．
11．且
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
方程有两个不相等的实数根，，
，，
即：
解得：，
且．
故答案为：且．
12．
【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
则该一元二次方程是，
故答案为：．
13．1或0
【分析】移项后分解因式得出，推出，，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
故答案为：1或．
14．
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论．
【详解】解：设，
则原方程可化为，
∵关于x的一元二次方程的解为，
∴，
∴或，
解得．
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：设，则原方程转化为，
所以或，
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：2．
16．6
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解．
【详解】设，则原方程换元为，即，
∴，
解得：，
即或（无实数根，舍去），
∴．
故答案为：6．
17．(1)，方程的另一个根为1
(2)见解答
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
（1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可；
（2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论．
【详解】（1）解：把代入一元二次方程得，
解得，
此时一元二次方程为，
设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为1；
（2）证明：，，
此方程总有两个实数根．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得，然后结合求出，然后即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴
将代入得，
解得．
19．(1)
(2)17或37
【分析】（1）根据已知和根与系数的关系得：，解得：，，因为关于的一元二次方程的两实数根，则，列式可得：，所以；
（2）分类讨论：①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得的值，并根据三角形三边关系取舍；②当时，即方程有两个相等实根，，则△，，同理根据三角形三边关系舍去．
此题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）时，方程有两个不相等的实数根；（2）时，方程有两个相等的实数根；（3）时，方程没有实数根；（4）；（5）．
【详解】（1）解：由根与系数关系得：，
依题意得：，
，
，
，
解得：，，
由得：，
，
；
（2）解：分两种情况：
①当或时，即方程有一根为7，把代入方程得：，
整理得，解得，，
当时，，解得，则三角形周长为；
当时，，解得，则三角形周长为；
②当时，即方程有两个相等实根，，则，，方程化为，解得，则，故舍去，
∴这个三角形的周长为17或37．
20．(1)且，；
(2)成立，见解析
【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式．
（1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可；
（2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可．
【详解】（1）解：解分式方程①得．
方程①的根为非负数，
，解得且．
又一元二次方程中，，所以．
综上所述可知且，；
（2）解：成立．理由如下：
是负整数，且，2，
．
方程②有两个实数根，，
．
化简，得，
将代入，得，
，③，
△④，
把③代入④得，
整理，可得．
21．(1)华为手机系列销售量的年平均增长率为
(2)如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能超过2000万台
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设华为手机系列销售量的年平均增长率为，根据2021年华为系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求，求出2024的预计销量，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：设华为手机系列销售量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：华为手机系列销售量的年平均增长率为；
（2）解：根据题意得：（万台），
，
如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能超过2000万台．
22．(1)
(2)该商品在原售价的基础上，再降低25元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键．
(1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解．
(2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x，
依题意得：
解得：，（舍去）
答：这个降价率为。
（2）设降价y元，则多销售件，
根据题意得，
解得：，
因为尽可能扩大销售量，所以（舍去）
答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．-
23．(1)该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为
(2)小区最多可建室内车位个
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的倍，据此列一元一次不等式组，求出a的取值范围，据此即可解答．
【详解】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（舍去），
答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为．
（2）解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位个，
根据题意可得：，
解得：，
∵a为整数，
∴小区最多可建室内车位个．
答：小区最多可建室内车位个．
24．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
25．(1)生态园垂直于墙的边长为6米；
(2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键．
（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可；
（2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断．
【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下：
假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米．
26．装裱后左右两边的边宽为4厘米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为，根据“原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的”结合长方形的面积公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为，
，
整理得：，
解得：（舍去），
答：装裱后左右两边的边宽为4厘米．
27．(1)
(2)米
(3)不能，见详解
【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答．
（2）根据题意得到，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论．
本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设的长为米，
∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），
∴米，
故答案为：
（2）解：根据题意得，，
解得：，，
当时，，
当时，（不合题意舍去），
∴米；
（3）解：根据题意得，，
∴
∴
则
该方程无实数解
∴仓库的面积不能为．
28．裁出的每个小矩形的周长为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每个小矩形的长为，宽为列出方程，然后求解即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：由每个小矩形的长为，宽为，
∴，整理得：，
解得：，（舍去），
∴裁出的每个小矩形的周长为，
答：裁出的每个小矩形的周长为．
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